« CÂU HỎI
Toán Học · Lớp $7$
$...$ d) Cho p và $p+8$ là các số nguyên tố $(p3).$ Chứng minh rằng: $p+4$ là hợp số.,e) Cho p và $4p+1$ là các số nguyên tố $(p3).$ Chứng minh rằng: $2p+1$ là hợp số.,f) Cho p và $5p+1$ là các số nguyên tố $(p3).$ Chứng minh rằng: $10p+1$ là hợp số.

Question

« CÂU HỎI 
Toán Học · Lớp $7$
$...$ d) Cho p và $p+8$ là các số nguyên tố $(p>3).$ Chứng minh rằng: $p+4$ là hợp số.,e) Cho p và $4p+1$ là các số nguyên tố $(p>3).$ Chứng minh rằng: $2p+1$ là hợp số.,f) Cho p và $5p+1$ là các số nguyên tố $(p>3).$ Chứng minh rằng: $10p+1$ là hợp số.

Huycindy · Accepted Answer

$d)$ Vì $p$ là số nguyên tố và $p > 3$ nên $p$ có dạng $3k + 1$ hoặc $3k + 2 \quad (k \in \mathbb{N}^*)$
Trường hợp $p = 3k + 1$
$p + 8 = 3k + 1 + 8 = 3k + 9 = 3(k + 3) \quad (l)$ vì $p + 8$ là số nguyên tố
Trường hợp $p = 3k + 2$
$p + 8 = 3k + 2 + 8 = 3k + 10 \quad (n)$
$p + 4 = 3k + 2 + 4 = 3k + 6 = 3(k + 2)$
Vì $p + 4 > 3$ và $p + 4 \;\vdots\; 3$ nên $p + 4$ là hợp số
$e)$ Vì $p$ là số nguyên tố và $p > 3$ nên $p$ có dạng $3k + 1$ hoặc $3k + 2 \quad (k \in \mathbb{N}^*)$
Trường hợp $p = 3k + 2$
$4p + 1 = 4(3k + 2) + 1 = 12k + 9 = 3(4k + 3) \quad (l)$ vì $4p + 1$ là số nguyên tố
Trường hợp $p = 3k + 1$
$4p + 1 = 4(3k + 1) + 1 = 12k + 5 \quad (n)$
$2p + 1 = 2(3k + 1) + 1 = 6k + 3 = 3(2k + 1)$
Vì $2p + 1 > 3$ và $2p + 1 \;\vdots\; 3$ nên $2p + 1$ là hợp số
$f)$ Vì $p$ là số nguyên tố và $p > 3$ nên $p$ có dạng $3k + 1$ hoặc $3k + 2 \quad (k \in \mathbb{N}^*)$
Trường hợp $p = 3k + 1$
$5p + 1 = 5(3k + 1) + 1 = 15k + 6 = 3(5k + 2) \quad (l)$ vì $5p + 1$ là số nguyên tố
Trường hợp $p = 3k + 2$
$5p + 1 = 5(3k + 2) + 1 = 15k + 11 \quad (n)$
$10p + 1 = 10(3k + 2) + 1 = 30k + 21 = 3(10k + 7)$
Vì $10p + 1 > 3$ và $10p + 1 \;\vdots\; 3$ nên $10p + 1$ là hợp số

Timi · Answer

Chúng ta sẽ giải từng phần trong câu hỏi:

**d)** Cho $ p $ và $ p+8 $ là các số nguyên tố với $ p > 3 $. Ta cần chứng minh rằng $ p+4 $ là hợp số.

- Bắt đầu với $ p $ là số nguyên tố lớn hơn 3. Tất cả các số nguyên tố lớn hơn 3 đều là số lẻ.
- Nếu $ p $ là số lẻ, thì $ p+4 $ cũng sẽ là số lẻ. 
- Xét các số nguyên tố $ p $ có thể là 5, 7, 11, 13, 17, 19, ... 
- Xét $ p \mod 3 $:
  - Nếu $ p \equiv 1 \mod 3 $, thì $ p+8 \equiv 1 + 2 \equiv 0 \mod 3 $, mà $ p+8 $ không thể là số nguyên tố vì nó chia hết cho 3 (trừ khi là số 3, nhưng ở đây $ p > 3 $).
  - Nếu $ p \equiv 2 \mod 3 $, thì $ p+8 \equiv 2 + 2 \equiv 1 \mod 3 $, không có vấn đề gì ở đây. Tuy nhiên, ta đã biết $ p $ không thể là 3.
  
Vì vậy, $ p+4 $ không thể là số nguyên tố nếu $ p $ là số nguyên tố lớn hơn 3, do đó $ p+4 $ là hợp số.

**Kết luận:** $ p+4 $ là hợp số.

---

**e)** Cho $ p $ và $ 4p + 1 $ là các số nguyên tố với $ p > 3 $. Chứng minh rằng $ 2p + 1 $ là hợp số.

- Tương tự như trên, $ p $ là số nguyên tố lớn hơn 3 nên $ p $ là số lẻ.
- Xét $ 2p + 1 $:
  - Nếu $ p $ là số nguyên tố, thì $ 4p + 1 $ là số lẻ và phải là số nguyên tố.
  - Ta kiểm tra $ 2p + 1 $:
    - Nếu $ p \equiv 1 \mod 3 $, thì $ 4p + 1 \equiv 1 + 1 \equiv 2 \mod 3 $ (không có vấn đề gì).
    - Nếu $ p \equiv 2 \mod 3 $, thì $ 4p + 1 \equiv 2 + 1 \equiv 0 \mod 3 $ (lại không được).

Như vậy, $ 2p + 1 $ sẽ chia hết cho 3, và không phải là số nguyên tố vì $ p > 3 $.

**Kết luận:** $ 2p + 1 $ là hợp số.

---

**f)** Cho $ p $ và $ 5p + 1 $ là các số nguyên tố với $ p > 3 $. Chứng minh rằng $ 10p + 1 $ là hợp số.

- Tương tự, $ p $ là số nguyên tố lớn hơn 3, tức là $ p $ là số lẻ.
- Xét $ 10p + 1 $:
  - $ 10p + 1 $ cũng là số lẻ. Ta cũng kiểm tra $ 5p + 1 $:
    - Nếu $ p \equiv 1 \mod 3 $, thì $ 5p + 1 \equiv 2 \mod 3 $.
    - Nếu $ p \equiv 2 \mod 3 $, thì $ 5p + 1 \equiv 0 \mod 3 $.

Khi kiểm tra tính chẵn lẻ, ta thấy rằng $ 10p + 1 \equiv 1 \mod 3 $, điều này có thể chỉ ra rằng $ 10p + 1 $ chia hết cho 5 và không phải là số nguyên tố.

**Kết luận:** $ 10p + 1 $ là hợp số.

---

Tóm lại:
- d) $ p+4 $ là hợp số.
- e) $ 2p + 1 $ là hợp số.
- f) $ 10p + 1 $ là hợp số.

« CÂU HỎI Toán Học · Lớp $7$ $...$