« CÂU HỎI
Toán Học · Lớp $7$
$...$ Cho p và $p+2$ là các số nguyên tố $(p3).$ Chứng minh rằng $p+1:6.$

Question

« CÂU HỎI 
Toán Học · Lớp $7$ 
$...$ Cho p và $p+2$ là các số nguyên tố $(p>3).$ Chứng minh rằng $p+1:6.$

Huycindy · Accepted Answer

Vì $p$ là số nguyên tố và $p > 3$ nên $p$ không chia hết cho $2$ và $p$ không chia hết cho $3$
Vì $p$ lẻ nên $p + 1$ chẵn $p + 1 \;\vdots\; 2$
Vì $p$ không chia hết cho $3$ nên $p$ có dạng $3k + 1$ hoặc $3k + 2 \quad (k \in \mathbb{N}^*)$
Trường hợp $p = 3k + 1$
$p + 2 = 3k + 1 + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1) \quad (l)$ vì $p + 2$ là số nguyên tố lớn hơn $3$
Trường hợp $p = 3k + 2$
$p + 2 = 3k + 2 + 2 = 3k + 4 \quad (n)$
$p + 1 = 3k + 2 + 1 = 3k + 3 = 3(k + 1)$
$p + 1 \;\vdots\; 3$
Vì $	ext{UCLN}(2, 3) = 1$ nên từ $p + 1 \;\vdots\; 2$ và $p + 1 \;\vdots\; 3$ suy ra $p + 1 \;\vdots\; 6$

Timi · Answer

Để chứng minh rằng $ p + 1 $ chia hết cho $ 6 $, ta sẽ xem xét các số nguyên tố $ p $ và $ p + 2 $ với $ p > 3 $.

1. **Số nguyên tố và tính chất chia hết**: Các số nguyên tố lớn hơn $ 3 $ đều có dạng $ 6k \pm 1 $ với $ k $ là một số nguyên. Điều này bởi vì mọi số nguyên đều có dạng $ 6k, 6k + 1, 6k + 2, 6k + 3, 6k + 4, 6k + 5 $:
   - $ 6k $: chia hết cho $ 6 $
   - $ 6k + 2 $: chia hết cho $ 2 $
   - $ 6k + 3 $: chia hết cho $ 3 $
   - $ 6k + 4 $: chia hết cho $ 2 $
   - Chỉ còn lại $ 6k + 1 $ và $ 6k + 5 $ có thể là số nguyên tố.

2. **Xét hai trường hợp**: 
   - **Trường hợp 1**: $ p = 6k + 1 $
     - Khi đó, $ p + 2 = 6k + 1 + 2 = 6k + 3 $. 
     - Số $ 6k + 3 $ không thể là số nguyên tố (trừ khi $ k = 0 $ và $ p = 3 $, nhưng $ p > 3 $ theo giả thiết), nên trường hợp này không xảy ra.
   - **Trường hợp 2**: $ p = 6k + 5 $
     - Khi đó, $ p + 2 = 6k + 5 + 2 = 6k + 7 $.
     - Số $ 6k + 7 $ không thể là số nguyên tố, vì nó có thể viết lại là $ 6(k + 1) + 1 $, do đó nó có dạng $ 6m + 1 $.

3. **Kết luận**: Do chỉ có một dạng khả thi cho $ p $ là $ 6k + 5 $, ta có:
   - $ p + 1 = 6k + 5 + 1 = 6k + 6 = 6(k + 1) $.
   - Như vậy, $ p + 1 $ chia hết cho $ 6 $.

Do đó, ta đã chứng minh rằng $ p + 1 $ chia hết cho $ 6 $.

**Đáp án**: $ p + 1 $ chia hết cho $ 6 $.

« CÂU HỎI Toán Học · Lớp $7$ $...$