Giải chi tiết Câu 21 [240104] [MĐ3]: Cho tập hợp $A=(0;+\infty)$ và $B=\{x\in\mathbb{R}|mx^2-4x+m-3=0\}.$ Tìm,m để B có đúng hai tập con và $B\subset A.$,Câu 22 [240112] [MĐ3]: Cho 3 tập hợp $A=(-3;-1)\cup(1;2);B=(m;+\infty);C(-\infty;2m).$ Tìm m,để $A\cap B\cap C
e\emptyset.$

Question

cute · Accepted Answer

{"userId":5385505,"userName":"ft. Hoàng"}

Câu 21:Tập hợp $B$ có đúng hai tập con khi và chỉ khi $B$ có đúng 1 phần tử. Điều này nghĩa là phương trình $mx^2 - 4x + m - 3 = 0$ (1) có nghiệm duy nhất.Trường hợp 1: $m = 0$Phương trình (1) trở thành: $-4x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = -\frac{3}{4}$.Do $-\frac{3}{4} \notin A = (0; +\infty)$ nên $B\not{\subset }A$ (Loại).Trường hợp 2: $m \neq 0$Phương trình (1) có nghiệm duy nhất khi:$\Delta ^{\prime }=4-m(m-3)=0\Leftrightarrow -m^{2}+3m+4=0\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}m&=-1\ m&=4\end{aligned}\right.$Với $m = -1$, nghiệm duy nhất là $x = \frac{2}{m} = -2 \notin A$ (Loại).Với $m = 4$, nghiệm duy nhất là $x = \frac{2}{m} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \in A$ (Thỏa mãn $B \subset A$).Vậy giá trị cần tìm là $m = 4$.Câu 22:Ta có: $B \cap C = (m; +\infty) \cap (-\infty; 2m)$.Để $B \cap C \neq \varnothing$ thì $m < 2m \Leftrightarrow m > 0$. Khi đó, $B \cap C = (m; 2m)$.Yêu cầu bài toán tương đương với $A \cap (m; 2m) \neq \varnothing$.Với $m > 0$, khoảng $(m; 2m)$ chỉ có thể giao với phần $(1; 2)$ của tập hợp $A$.Để $(1; 2) \cap (m; 2m) \neq \varnothing$, điều kiện là hệ sau có nghiệm:$\begin{cases}m<2\ 2m>1\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}m<2\ m>\frac{1}{2}\end{cases}\Leftrightarrow \frac{1}{2}<m<2$Kết hợp điều kiện $m > 0$, ta được $\frac{1}{2} < m < 2$.

Timi · Answer

### Câu 21: Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm điều kiện để tập hợp $ B $ có đúng hai nghiệm, đồng thời $ B \subset A $. Bắt đầu với phương trình bậc hai: $$ mx^2 - 4x + (m - 3) = 0 $$ Sử dụng điều kiện có đúng hai nghiệm thì cần phải có: $$ \Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4m(m - 3) = 16 - 4m^2 + 12m = 28 + 12m - 4m^2 > 0 $$ Giải bất phương trình này: $$ -4m^2 + 12m + 28 > 0 $$ Chia toàn bộ phương trình cho -4 (lưu ý đổi dấu): $$ m^2 - 3m - 7 < 0 $$ Tìm nghiệm của phương trình bậc hai $ m^2 - 3m - 7 = 0 $ bằng công thức nghiệm: $$ m = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 28}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{37}}{2} $$ Kí hiệu $ m_1 = \frac{3 - \sqrt{37}}{2} $ và $ m_2 = \frac{3 + \sqrt{37}}{2} $. Bất phương trình bậc hai $ m^2 - 3m - 7 < 0 $ có nghiệm: $$ m \in \left( \frac{3 - \sqrt{37}}{2}, \frac{3 + \sqrt{37}}{2} \right) $$ Tiếp theo, để $ B \subset A $, tức là tất cả các nghiệm của phương trình phải nằm trong khoảng $ (0; +\infty) $. Ta tìm điều kiện cho nghiệm: Sử dụng công thức nghiệm: $$ x_1, x_2 = \frac{4 \pm \sqrt{\Delta}}{2m} $$ Để $ x_1, x_2 > 0 $, ta cần: $$ \frac{4 - \sqrt{\Delta}}{2m} > 0 \quad \text{và} \quad \frac{4 + \sqrt{\Delta}}{2m} > 0 $$ Cả hai điều này đều thỏa mãn khi $ m > 0 $. Từ đó, ta cần kết hợp: $$ m > 0 \quad \text{và} \quad m \in \left( \frac{3 - \sqrt{37}}{2}, \frac{3 + \sqrt{37}}{2} \right) $$ Giá trị $ m $ hợp lệ sẽ là: $$ m \in \left( 0, \frac{3 + \sqrt{37}}{2} \right) $$ ### Câu 22: Ta có các tập hợp: $$ A = (-3;-1) \cup (1;2), \quad B = (m;+\infty), \quad C = (-\infty; 2m) $$ Để $ A \cap B \cap C \neq \emptyset $, ta tìm điều kiện cho từng tập hợp. - Tập hợp $ A $ có hai khoảng: $ (-3; -1) $ và $ (1; 2) $. - Tập hợp $ B $ bắt đầu từ $ m $ và đi đến vô cùng. - Tập hợp $ C $ đi từ âm vô cùng đến $ 2m $. Điều kiện để $ A \cap B \cap C \neq \emptyset $: 1. $ B $ phải có giao với ít nhất một trong các khoảng của $ A $. 2. $ C $ phải có giao với $ A $ và $ B $. ### Tình huống 1: Giao với khoảng $ (-3; -1) $ - Để có giao, $ m < -1 $ và $ 2m > -1 \Rightarrow m > -\frac{1}{2} $. - Từ đó, điều kiện này vô lý vì không có giá trị nào thỏa mãn. ### Tình huống 2: Giao với khoảng $ (1; 2) $ - Để có giao, $ m < 1 $ và $ 2m > 2 \Rightarrow m > 1 $. Điều này cũng vô lý. Từ đó, ta có thể kết luận rằng: - $ A \cap B \cap C \neq \emptyset $ chỉ có thể xảy ra nếu cả hai khoảng $ (1; 2) $ và $ (-3; -1) $ đều không đủ. Kết luận cuối cùng là: - Không có giá trị $ m $ nào thỏa mãn đồng thời cả hai điều kiện. ### Đáp án: - Câu 21: $ m \in \left( 0, \frac{3 + \sqrt{37}}{2} \right) $ - Câu 22: Không có giá trị $ m $ nào thỏa mãn.