Đề bài: Trong một bài kiểm tra trắc nghiệm có 50 câu hỏi, mỗi câu có 4 phương án trả lời và chỉ có 1 phương án đúng. Mỗi câu trả lời đúng được cộng 0,2 điểm, câu sai bị trừ 0,1 điểm. Một học sinh đã chắc chắn đúng 35 câu, 15 câu còn lại chọn ngẫu nhiên đáp án.Xác suất để học sinh đó đạt tổng điểm là 7,0 điểm xấp xỉ bằng bao nhiêu?Các phương án lựa chọn:
A. 0,160
B. 0,165
C. 0,170
D. 0,175

Question

quynhanhcuteo · Accepted Answer

Đáp án chính xác là C. 0,170Phương pháp giải chi tiết:1. Tính số điểm từ 35 câu chắc chắn đúngSố điểm có được: $35 \times 0,2 = 7,0$ điểm.2. Xác định điều kiện cho 15 câu còn lạiĐể tổng điểm cuối cùng vẫn là $7,0$ điểm, số điểm từ 15 câu chọn ngẫu nhiên này phải bằng $0$.Gọi $k$ là số câu đúng trong 15 câu này ($0 \leq k \leq 15$).Số câu sai tương ứng là: $15 - k$.Phương trình điểm số:$k\times 0,2-(15-k)\times 0,1=0$$0,2k-1,5+0,1k=0$$0,3k=1,5\implies k=5$Vậy học sinh cần chọn đúng chính xác 5 câu và sai 10 câu trong số 15 câu còn lại.3. Tính xác suất bằng công thức BernoulliMỗi câu hỏi có 4 phương án, chỉ có 1 phương án đúng.Xác suất chọn đúng 1 câu ngẫu nhiên: $p = \frac{1}{4} = 0,25$.Xác suất chọn sai 1 câu ngẫu nhiên: $q = 1 - p = 0,75$.Xác suất để đúng chính xác 5 câu trong 15 câu là:$P=C_{15}^{5}\times (0,25)^{5}\times (0,75)^{10}$$P=3003\times 0,0009765625\times 0,0563135$$P\approx 0,165146...$Nhìn vào các phương án lựa chọn, giá trị gần nhất là 0,165 (Đáp án B). Tuy nhiên, đề bài có thể có sai số làm tròn hoặc lỗi đề, nhưng dựa trên kết quả tính toán chính xác, giá trị xấp xỉ là 0,165. Do đó, chọn B là hợp lý nhất theo tính toán khoa học.

Timi · Answer

Để giải bài toán này, ta cần tính số điểm tối đa mà học sinh có thể đạt được và xác suất để đạt được tổng điểm là 7,0.

1. **Tính điểm từ câu chắc chắn đúng**:
   - Học sinh chắc chắn đúng 35 câu, mỗi câu đúng được 0,2 điểm.
   - Điểm từ 35 câu đúng là: $35 \times 0.2 = 7.0$ điểm.

2. **Tính điểm từ câu chọn ngẫu nhiên**:
   - Học sinh còn lại 15 câu, chọn ngẫu nhiên.
   - Xác suất để trả lời đúng một câu là $\frac{1}{4}$ và sai là $\frac{3}{4}$.
   - Nếu gọi $X$ là số câu trả lời đúng trong 15 câu chọn ngẫu nhiên, $X$ sẽ tuân theo phân phối nhị thức $B(15, \frac{1}{4})$.

3. **Điểm đạt được từ các câu chọn ngẫu nhiên**:
   - Điểm từ câu trả lời đúng là $X \times 0.2$.
   - Điểm từ câu trả lời sai là $(15 - X) \times (-0.1)$.
   - Tổng điểm sẽ là: 
     $$
     7 + 0.2X - 0.1(15 - X) = 7 + 0.2X - 1.5 + 0.1X = 7 - 1.5 + 0.3X = 5.5 + 0.3X.
     $$

4. **Tính tổng điểm đạt được**:
   - Để có tổng điểm là 7.0, ta có phương trình:
     $$
     5.5 + 0.3X = 7.
     $$
   - Giải phương trình trên:
     $$
     0.3X = 7 - 5.5 \implies 0.3X = 1.5 \implies X = \frac{1.5}{0.3} = 5.
     $$
   - Vậy, học sinh cần đúng 5 câu trong số 15 câu chọn ngẫu nhiên.

5. **Tính xác suất**:
   - Sử dụng công thức xác suất phân phối nhị thức:
     $$
     P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k},
     $$
   - Trong đó, $n = 15$, $k = 5$, $p = \frac{1}{4}$.
   - Tính toán:
     $$
     P(X = 5) = \binom{15}{5} \left(\frac{1}{4}\right)^5 \left(\frac{3}{4}\right)^{10}.
     $$

6. **Tính giá trị**:
   - Tính $\binom{15}{5}$:
     $$
     \binom{15}{5} = \frac{15!}{5!(15-5)!} = 3003.
     $$
   - Tính $\left(\frac{1}{4}\right)^5 = \frac{1}{1024}$.
   - Tính $\left(\frac{3}{4}\right)^{10} = \left(\frac{3^{10}}{4^{10}}\right) = \frac{59049}{1048576}$.
   - Tổng hợp lại:
     $$
     P(X = 5) = 3003 \times \frac{1}{1024} \times \frac{59049}{1048576}.
     $$

- Tính giá trị cuối cùng:
     $$
     P(X = 5) = \frac{3003 \times 59049}{1073741824} \approx 0.160.
     $$

Vậy xác suất để học sinh đó đạt tổng điểm là 7,0 điểm xấp xỉ bằng **0,160**.

**Đáp án: A. 0,160**.

Đề bài: Trong một bài kiểm tra trắc nghiệm có 50 câu hỏi, mỗi câu có 4 phương án trả lời và chỉ có 1 phương án đúng. Mỗi câu trả lời đúng được cộng 0,2 điểm, câu sai bị trừ 0,1 điểm. Một học sinh đã ch...