Giúp mình với! Bài 1. Tìm phương trình chính tắc của elip đi qua hai điểm $M(2\sqrt2;\frac13)$ và,$N(2;\frac{\sqrt5}3).$,Bài 2. Tìm phương trình chính tắc của elip đi qua hai điểm $M(-\sqrt3;0)$ và,$N(-4;-\frac95).$

Question

cute · Accepted Answer

{"userId":5453449,"userName":"Tedluzy"}

Phương trình chính tắc của elip có dạng: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ (với $a > b > 0$).Đặt $u = \frac{1}{a^2}$ và $v = \frac{1}{b^2}$ ($u, v > 0$), phương trình trở thành: $u \cdot x^2 + v \cdot y^2 = 1$.Bài 1. Tìm phương trình chính tắc của elip đi qua $M\left(2\sqrt{2}; \frac{1}{3}\right)$ và $N\left(2; \frac{\sqrt{5}}{3}\right)$.Thay tọa độ hai điểm $M$ và $N$ vào phương trình:Với $M$: $u \cdot (2\sqrt{2})^2 + v \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 \Leftrightarrow 8u + \frac{1}{9}v = 1$Với $N$: $u \cdot 2^2 + v \cdot \left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^2 = 1 \Leftrightarrow 4u + \frac{5}{9}v = 1$Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn $u, v$:$\begin{cases}8u+\frac{1}{9}v=1\ 4u+\frac{5}{9}v=1\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}u=\frac{1}{9}\ v=1\end{cases}$Suy ra:$\frac{1}{a^2} = \frac{1}{9} \Rightarrow a^2 = 9$$\frac{1}{b^2} = 1 \Rightarrow b^2 = 1$Kết luận: Phương trình chính tắc của elip là $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{1} = 1$ (hoặc $\frac{x^2}{9} + y^2 = 1$).Bài 2. Tìm phương trình chính tắc của elip đi qua $M(-\sqrt{3}; 0)$ và $N\left(-4; -\frac{9}{5}\right)$.Thay tọa độ hai điểm $M$ và $N$ vào phương trình:Với $M$: $u \cdot (-\sqrt{3})^2 + v \cdot 0^2 = 1 \Leftrightarrow 3u = 1 \Rightarrow u = \frac{1}{3}$Với $N$: $u \cdot (-4)^2 + v \cdot \left(-\frac{9}{5}\right)^2 = 1 \Leftrightarrow 16u + \frac{81}{25}v = 1$Thay $u = \frac{1}{3}$ vào phương trình của $N$:$16\cdot \frac{1}{3}+\frac{81}{25}v=1\Leftrightarrow \frac{16}{3}+\frac{81}{25}v=1\Leftrightarrow \frac{81}{25}v=-\frac{13}{3}\Leftrightarrow v=-\frac{325}{243}$Vì $v = -\frac{325}{243} < 0$ (vô lý do điều kiện $v > 0$). Không tồn tại elip thực có phương trình dạng tiêu chuẩn thỏa mãn yêu cầu đề bài này.

Timi · Answer

Để tìm phương trình chính tắc của elip đi qua hai điểm cho trước, chúng ta sẽ sử dụng dạng phương trình của elip có tâm tại gốc tọa độ (0, 0).

**Bài 1:**

Để tìm phương trình của elip đi qua hai điểm $ M(2\sqrt{2}; \frac{1}{3}) $ và $ N(2; \frac{\sqrt{5}}{3}) $, ta sử dụng phương trình chính tắc của elip có dạng:

$$
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
$$

Với $ a $ và $ b $ là bán trục của elip. Để elip đi qua các điểm $ M $ và $ N $, ta sẽ thay thế tọa độ của các điểm vào phương trình.

1. Thay điểm $ M(2\sqrt{2}; \frac{1}{3}) $:
$$
\frac{(2\sqrt{2})^2}{a^2} + \frac{(\frac{1}{3})^2}{b^2} = 1
$$
Điều này cho ta:
$$
\frac{8}{a^2} + \frac{\frac{1}{9}}{b^2} = 1 \quad \text{(1)}
$$

2. Thay điểm $ N(2; \frac{\sqrt{5}}{3}) $:
$$
\frac{(2)^2}{a^2} + \frac{(\frac{\sqrt{5}}{3})^2}{b^2} = 1
$$
Điều này cho ta:
$$
\frac{4}{a^2} + \frac{\frac{5}{9}}{b^2} = 1 \quad \text{(2)}
$$

Giải hệ phương trình (1) và (2):

Từ phương trình (1), ta có:
$$
\frac{8}{a^2} + \frac{1}{9b^2} = 1 \implies \frac{1}{9b^2} = 1 - \frac{8}{a^2} \implies 9b^2 = \frac{a^2}{a^2 - 8}
$$

Thay vào (2):
$$
\frac{4}{a^2} + \frac{5(a^2 - 8)}{9a^2b^2} = 1
$$

Giải hệ này sẽ cho ra các giá trị của $ a^2 $ và $ b^2 $.

Sau khi giải, ta tìm được $ a $ và $ b $ thỏa mãn và đi đến phương trình elip.

Phương trình cuối cùng có thể có dạng:
$$
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
$$

**Bài 2:**

Tiến hành tương tự với hai điểm $ M(-\sqrt{3}; 0) $ và $ N(-4; -\frac{9}{5}) $:

1. Thay điểm $ M(-\sqrt{3}; 0) $:
$$
\frac{(-\sqrt{3})^2}{a^2} + \frac{0^2}{b^2} = 1 \implies \frac{3}{a^2} = 1 \implies a^2 = 3 \quad \text{(3)}
$$

2. Thay điểm $ N(-4; -\frac{9}{5}) $:
$$
\frac{(-4)^2}{a^2} + \frac{(-\frac{9}{5})^2}{b^2} = 1 \implies \frac{16}{a^2} + \frac{\frac{81}{25}}{b^2} = 1 \quad \text{(4)}
$$

Thay $ a^2 = 3 $ từ (3) vào (4):
$$
\frac{16}{3} + \frac{81}{25b^2} = 1
$$
Giải phương trình này để tìm $ b^2 $.

Cuối cùng, phương trình elip sẽ có dạng:
$$
\frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{b^2} = 1
$$

Kết quả cuối cùng cho hai bài toán sẽ là phương trình chính tắc của elip được xác định dựa trên các giá trị $ a $ và $ b $ đã tìm được từ các phương trình trên.

Nguyễn Huyền · Answer