Giúp mình với!

Điều kiện xác định của phương trình:

$\begin{cases} x \ge 0 \\ 2x^2 + 5x - 3 \ge 0 \end{cases}$

$\begin{cases} x \ge 0 \\ (2x - 1)(x + 3) \ge 0 \end{cases}$

$x \ge \frac{1}{2}$

Với điều kiện trên, ta biến đổi phương trình ban đầu:

$4x^2 - 3x - 1 + 4(2x - 1)\sqrt{x} - 2\sqrt{(2x - 1)(x + 3)} = 0$

$(2x - 1)(2x + 1) + 4(2x - 1)\sqrt{x} - 2\sqrt{(2x - 1)(x + 3)} = 0$

Vì $x \ge \frac{1}{2}$ nên $2x - 1 \ge 0$. Ta chia cả hai vế của phương trình cho $\sqrt{2x - 1}$ (với $x > \frac{1}{2}$):

$(2x + 1)\sqrt{2x - 1} + 4\sqrt{x}\sqrt{2x - 1} - 2\sqrt{x + 3} = 0$

Nhận thấy cách chia này làm xuất hiện các căn thức phức tạp hơn, ta quay lại biến đổi phương trình thành dạng tích bằng cách tách các hạng tử:

$4x^2 + 8x\sqrt{x} - 4\sqrt{x} - 3x - 1 - 2\sqrt{2x^2 + 5x - 3} = 0$

$(4x^2 + 4x\sqrt{x} - x) + (4x\sqrt{x} - 4\sqrt{x} - 2x) - 1 - 2\sqrt{2x^2 + 5x - 3} = 0$

Để tìm mối liên hệ giữa các căn thức, ta đặt:

$u = \sqrt{x}$ với $u \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$

$v = \sqrt{2x^2 + 5x - 3} = \sqrt{(2x - 1)(x + 3)}$ với $v \ge 0$

Ta có biểu thức:

$2x^2 + 5x - 3 = v^2$

Biến đổi vế trái của phương trình gốc:

$4x^2 - 3x - 1 + 4(2x - 1)\sqrt{x} - 2\sqrt{2x^2 + 5x - 3} = 0$

$2(2x^2 + 5x - 3) - 13x + 5 + 4(2x - 1)\sqrt{x} - 2\sqrt{2x^2 + 5x - 3} = 0$

$2v^2 - 2v + 4(2x - 1)\sqrt{x} - (13x - 5) = 0$

Ta nhận xét biểu thức ẩn dưới dạng phương trình bậc hai đối với $v$:

$2v^2 - 2v + [8x\sqrt{x} - 4\sqrt{x} - 13x + 5] = 0$

Biệt thức Delta theo $v$:

$\Delta' = 1^2 - 2(8x\sqrt{x} - 4\sqrt{x} - 13x + 5)$

$\Delta' = 1 - 16x\sqrt{x} + 8\sqrt{x} + 26x - 10$

$\Delta' = 26x + 8\sqrt{x} - 16x\sqrt{x} - 9$

Biểu thức Delta này không phải là một bình phương hoàn chỉnh, do đó ta cần tìm một cách ghép bình phương khác trực tiếp từ phương trình:

$4x^2 + 8x\sqrt{x} - 4\sqrt{x} - 3x - 1 = 2\sqrt{2x^2 + 5x - 3}$

$(4x^2 - 4x + 1) + (8x\sqrt{x} - 4\sqrt{x}) + x - 2 - 2\sqrt{2x^2 + 5x - 3} = 0$

$(2x - 1)^2 + 4\sqrt{x}(2x - 1) + x - 2 - 2\sqrt{(2x - 1)(x + 3)} = 0$

Ta thêm bớt hạng tử để tạo ra bình phương liên quan đến $\sqrt{2x - 1}$:

Vì $2x^2 + 5x - 3 = (2x - 1)(x + 3)$, ta đặt $a = 2x - 1 \ge 0$ và $b = \sqrt{x} \ge 0$.

Phương trình trở thành:

$a^2 + 4ab - \frac{a + 1}{2} - 2 - 2\sqrt{a \cdot \left(\frac{a + 1}{2} + 3\right)} = 0$

$a^2 + 4ab - \frac{a + 5}{2} - 2\sqrt{\frac{a(a + 7)}{2}} = 0$

Ta thử nghiệm nghiệm nguyên của phương trình ban đầu để định hướng tách nhân tử.

Với $x = 1$:

$\text{VT} = 4(1)^2 + (8 \cdot 1 - 4)\sqrt{1} - 1 = 4 + 4 - 1 = 7$

$\text{VP} = 3(1) + 2\sqrt{2(1)^2 + 5(1) - 3} = 3 + 2\sqrt{4} = 3 + 4 = 7$

Ta thấy $x = 1$ là một nghiệm của phương trình.

Với $x = 1$, ta có các giá trị:

$2x - 1 = 1$

$\sqrt{x} = 1$

$\sqrt{2x^2 + 5x - 3} = 2$

$x + 3 = 4$

Từ đây ta có mối liên hệ giữa các lượng chứa căn tại $x = 1$:

$\sqrt{2x^2 + 5x - 3} = 2\sqrt{x}$ khi $x = 1$

$\sqrt{2x^2 + 5x - 3} = 2(2x - 1)$ khi $x = 1$

$\sqrt{2x^2 + 5x - 3} = x + 1$ khi $x = 1$

Ta thực hiện phương pháp liên hợp hoặc cô lập căn thức theo nhân tử $(x - 1)$:

$4x^2 + (8x - 4)\sqrt{x} - 3x - 1 = 2\sqrt{2x^2 + 5x - 3}$

$[4x^2 + (8x - 4)\sqrt{x} - 3x - 1] - 2(x + 1) = 2\sqrt{2x^2 + 5x - 3} - 2(x + 1)$

$4x^2 - 5x - 3 + (8x - 4)\sqrt{x} = 2(\sqrt{2x^2 + 5x - 3} - (x + 1))$

Ta biến đổi vế phải bằng cách nhân liên hợp:

$2(\sqrt{2x^2 + 5x - 3} - (x + 1)) = 2 \cdot \frac{2x^2 + 5x - 3 - (x^2 + 2x + 1)}{\sqrt{2x^2 + 5x - 3} + x + 1}$

$= 2 \cdot \frac{x^2 + 3x - 4}{\sqrt{2x^2 + 5x - 3} + x + 1}$

$= \frac{2(x - 1)(x + 4)}{\sqrt{2x^2 + 5x - 3} + x + 1}$

Bây giờ ta biến đổi vế trái để làm xuất hiện nhân tử $(x - 1)$:

$\text{VT} = 4x^2 - 5x - 3 + (8x - 4)\sqrt{x}$

Ta tách phần chứa căn: $(8x - 4)\sqrt{x} = 4(2x - 1)\sqrt{x}$

Tại $x = 1$, giá trị của $4(2x - 1)\sqrt{x}$ là 4. Ta trừ đi 4 và cộng 4 vào phần đa thức:

$\text{VT} = 4x^2 - 5x + 1 + 4(2x - 1)\sqrt{x} - 4$

$= (x - 1)(4x - 1) + 4[(2x - 1)\sqrt{x} - 1]$

Ta phân tích biểu thức trong ngoặc vuông:

$(2x - 1)\sqrt{x} - 1 = 2x\sqrt{x} - \sqrt{x} - 1$

$= 2x\sqrt{x} - 2\sqrt{x} + \sqrt{x} - 1$

$= 2\sqrt{x}(x - 1) + (\sqrt{x} - 1)$

$= 2\sqrt{x}(x - 1) + \frac{x - 1}{\sqrt{x} + 1}$

$= (x - 1) \left( 2\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x} + 1} \right)$

$= (x - 1) \frac{2x + 2\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 1}$

Do đó, vế trái được biểu diễn thành:

$\text{VT} = (x - 1)(4x - 1) + 4(x - 1) \frac{2x + 2\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 1}$

$= (x - 1) \left( 4x - 1 + \frac{8x + 8\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} + 1} \right)$

$= (x - 1) \frac{(4x - 1)(\sqrt{x} + 1) + 8x + 8\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} + 1}$

$= (x - 1) \frac{4x\sqrt{x} + 4x - \sqrt{x} - 1 + 8x + 8\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} + 1}$

$= (x - 1) \frac{4x\sqrt{x} + 12x + 7\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 1}$

Phương trình ban đầu được đưa về dạng:

$(x - 1) \frac{4x\sqrt{x} + 12x + 7\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 1} = (x - 1) \frac{2x + 8}{\sqrt{2x^2 + 5x - 3} + x + 1}$

$(x - 1) \left( \frac{4x\sqrt{x} + 12x + 7\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 1} - \frac{2x + 8}{\sqrt{2x^2 + 5x - 3} + x + 1} \right) = 0$

Trường hợp 1:

$x - 1 = 0$

$x = 1$ (thỏa mãn điều kiện $x \ge \frac{1}{2}$)

Trường hợp 2:

$\frac{4x\sqrt{x} + 12x + 7\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 1} = \frac{2x + 8}{\sqrt{2x^2 + 5x - 3} + x + 1}$

Ta đánh giá hai vế với điều kiện $x \ge \frac{1}{2}$:

Vế trái:

$4x\sqrt{x} + 12x + 7\sqrt{x} + 3 > 12x + 3$

Do đó:

$\frac{4x\sqrt{x} + 12x + 7\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 1} = 4x + \frac{8x + 7\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 1}$

Với $x \ge \frac{1}{2}$, ta có $\sqrt{x} \ge \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,707$.

$\frac{8x + 7\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 1} > \frac{8\left(\frac{1}{2}\right) + 7(0,7) + 3}{1,8} = \frac{4 + 4,9 + 3}{1,8} = \frac{11,9}{1,8} > 6$

Suy ra vế trái lớn hơn $4\left(\frac{1}{2}\right) + 6 = 8$.

Vế phải:

Do $\sqrt{2x^2 + 5x - 3} \ge 0$ nên:

$\frac{2x + 8}{\sqrt{2x^2 + 5x - 3} + x + 1} \le \frac{2x + 8}{x + 1} = 2 + \frac{6}{x + 1}$

Vì $x \ge \frac{1}{2}$ nên $x + 1 \ge \frac{3}{2}$, suy ra $\frac{6}{x + 1} \le \frac{6}{\frac{3}{2}} = 4$.

Do đó vế phải nhỏ hơn hoặc bằng $2 + 4 = 6$.

Vì vế trái luôn lớn hơn 8 và vế phải luôn nhỏ hơn hoặc bằng 6 với mọi $x \ge \frac{1}{2}$, nên phương trình ở trường hợp 2 vô nghiệm.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{1\}$.