Giúp mình với!

a) Tính tỉ số \(\frac{DI}{DF}\)Gọi \((\alpha)\) là mặt phẳng chứa \(AC\) và song song với \(BF\).Vectơ pháp tuyến \(\vec{n}\) của \((\alpha)\) vuông góc với cả \(\vec{AC}\) và \(\vec{BF}\):\(\vec{AC}=(a;a\sqrt{2};0)=a(1;\sqrt{2};0)\)\(\vec{BF}=\left(-a;\frac{a\sqrt{2}}{2};\frac{a\sqrt{6}}{2}\right)=a\left(-1;\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{6}}{2}\right)\)\(\vec{n}=[\vec{AC},\vec{BF}]=a^{2}\left(\sqrt{3};-\frac{\sqrt{6}}{2};\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\)Chọn vectơ pháp tuyến gọn hơn: \(\vec{n}_0 = (2\sqrt{3}; -\sqrt{6}; 3\sqrt{2})\).Phương trình mặt phẳng \((\alpha)\) đi qua \(A(0;0;0)\):\(2\sqrt{3}x-\sqrt{6}y+3\sqrt{2}z=0\)Điểm \(I\) là giao điểm của đường thẳng \(DF\) với mặt phẳng \((\alpha)\).Ta có \(\vec{DF} = F - D = \left(0; -\frac{a\sqrt{2}}{2}; \frac{a\sqrt{6}}{2}\right)\).Phương trình tham số của \(DF\) đi qua \(D(0; a\sqrt{2}; 0)\):\(\begin{cases}x=0\\ y=a\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}t\\ z=\frac{\sqrt{6}}{2}t\end{cases}\)(Với \(t=0 \Rightarrow D\), \(t=a \Rightarrow F\)). Do đó \(DF = a\). Tỉ số \(\frac{DI}{DF} = \frac{t_I}{a}\).Thay phương trình tham số vào phương trình \((\alpha)\):\(2\sqrt{3}(0)-\sqrt{6}\left(a\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}t\right)+3\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{6}}{2}t\right)=0\)\(-2a\sqrt{3}+\sqrt{3}t+\frac{3\sqrt{3}}{2}t=0\Leftrightarrow \frac{5\sqrt{3}}{2}t=2a\sqrt{3}\Leftrightarrow t=\frac{4a}{5}\)Vậy tỉ số cần tìm là:\(\frac{DI}{DF}=\frac{\frac{4a}{5}}{a}=\frac{4}{5}\)b) Tính khoảng cách \(d(AC, BF)\)Vì \((\alpha)\) chứa \(AC\) và song song với \(BF\) nên khoảng cách giữa hai đường thẳng bằng khoảng cách từ điểm \(B\) đến mặt phẳng \((\alpha)\):\(d(AC,BF)=d(B,(\alpha ))=\frac{|2\sqrt{3}\cdot a-\sqrt{6}\cdot 0+3\sqrt{2}\cdot 0|}{\sqrt{(2\sqrt{3})^{2}+(-\sqrt{6})^{2}+(3\sqrt{2})^{2}}}\)\(d(AC,BF)=\frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{12+6+18}}=\frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{36}}=\frac{2a\sqrt{3}}{6}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)c) Tính thể tích của khối lăng trụ xiên \(AFD.BEC\)Khối đa diện \(AFD.BEC\) là một hình lăng trụ tam giác có hai đáy đối diện song song và bằng nhau là \(\triangle AFD\) và \(\triangle BEC\), với các cạnh bên \(AB = DE = FC = a\) vuông góc với trục hoành (song song với trục \(Ox\)).Diện tích đáy \(\triangle AFD\):Hai điểm \(A, D\) nằm trên trục \(Oy\), cạnh \(AD = a\sqrt{2}\).Tọa độ điểm \(F\) có cao độ \(z_F = \frac{a\sqrt{6}}{2}\) chính là chiều cao hạ từ \(F\) xuống \(AD\).\(S_{AFD}=\frac{1}{2}\cdot AD\cdot z_{F}=\frac{1}{2}\cdot a\sqrt{2}\cdot \frac{a\sqrt{6}}{2}=\frac{a^{2}\sqrt{12}}{4}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}\)Cạnh bên của lăng trụ song song với trục \(Ox\) và có độ dài \(h = AB = a\).Thể tích khối lăng trụ:\(V=S_{AFD}\cdot AB=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}\cdot a=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{2}\)d) Xác định và tính góc giữa \(BF\) và mặt phẳng \((AFD)\)Mặt phẳng \((AFD)\) chính là mặt phẳng tọa độ \(Ayz\), có vectơ pháp tuyến là \(\vec{i} = (1; 0; 0)\).Vectơ cạnh \(BF\): \(\vec{BF} = \left(-a; \frac{a\sqrt{2}}{2}; \frac{a\sqrt{6}}{2}\right)\), độ dài \(BF = \sqrt{(-a)^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{6}}{2}\right)^2} = \sqrt{a^2 + \frac{2a^2}{4} + \frac{6a^2}{4}} = a\sqrt{3}\).Gọi \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng \(BF\) và mặt phẳng \((AFD)\):\(\sin \varphi =\frac{|\vec{BF}\cdot \vec{i}|}{|\vec{BF}|\cdot |\vec{i}|}=\frac{|-a\cdot 1+0+0|}{a\sqrt{3}\cdot 1}=\frac{a}{a\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)Hình chiếu hình học:Vì \(BA \perp (AFD)\) tại \(A\) nên \(A\) là hình chiếu của \(B\) lên \((AFD)\). Điểm \(F\) thuộc \((AFD)\) nên hình chiếu của \(BF\) lên \((AFD)\) là đường thẳng \(AF\).👉 Góc giữa \(BF\) và \((AFD)\) chính là góc \(\widehat{BFA}\).Giá trị góc:\(\varphi =\arcsin \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\approx 35,26^{\circ }\)