Đáp án $+$ Giải thích Bài tập 1: Thực hiện các yêu cầu trong các trường hợp sau:,a) Cho $\sin\alpha=\frac13,$ với $90^0

Question

Đáp án $+$ Giải thích Bài tập 1: Thực hiện các yêu cầu trong các trường hợp sau:,a) Cho $\sin\alpha=\frac13,$ với $90^0<\alpha<180^0.$ Tính $\cos\alpha$,b) Cho biết $\cos\alpha=-\frac23.$ Tính tan o,c) Cho a là góc tù và $\sin\alpha=\frac5{13}.$ Tính giá trị của biểu thức $3\sin\alpha+2\cos\alpha$

cute · Accepted Answer

{"userId":5447706,"userName":"Duy Hải"}

a) Cho $\sin \alpha = \frac{1}{3}$, với $90^\circ < \alpha < 180^\circ$. Tính $\cos \alpha$

• Sử dụng công thức lượng giác cơ bản: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$

• Suy ra: $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

• Vì $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ (góc tù thuộc góc phần tư thứ II) nên $\cos \alpha < 0$.

• Do đó: $\cos \alpha = -\sqrt{\frac{8}{9}} = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$

________________________________________

b) Cho biết $\cos \alpha = -\frac{2}{3}$. Tính $\tan \alpha$

• Sử dụng công thức: $1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$

• Suy ra: $\tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} - 1 = \frac{1}{\left(-\frac{2}{3}\right)^2} - 1 = \frac{9}{4} - 1 = \frac{5}{4}$

• Vì $\cos \alpha = -\frac{2}{3} < 0$ nên $\alpha $ là góc tù ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$). Trong khoảng này, $\sin \alpha > 0$, do đó $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} < 0$.

• Do đó: $\tan \alpha = -\sqrt{\frac{5}{4}} = -\frac{\sqrt{5}}{2}$

________________________________________

c) Cho $\alpha $ là góc tù và $\sin \alpha = \frac{5}{13}$. Tính giá trị của biểu thức $A = 3\sin \alpha + 2\cos \alpha$

• Tìm $\cos \alpha$: Ta có $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$

• Vì $\alpha $ là góc tù nên $\cos \alpha < 0$. Suy ra: $\cos \alpha = -\sqrt{\frac{144}{169}} = -\frac{12}{13}$

• Thay $\sin \alpha$ và $\cos \alpha$ vào biểu thức $A$:

$A=3\cdot \left(\frac{5}{13}\right)+2\cdot \left(-\frac{12}{13}\right)=\frac{15}{13}-\frac{24}{13}=-\frac{9}{13}$

Timi · Answer

Để giải bài tập này, chúng ta sẽ thực hiện từng yêu cầu một.

### a) Cho $\sin\alpha=\frac{1}{3}$, với $90^\circ<\alpha<180^\circ$. Tính $\cos\alpha$

Chúng ta biết rằng trong tam giác vuông, có công thức Pythagore:
$$
\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1
$$
Thay giá trị của $\sin\alpha$ vào công thức:
$$
\left(\frac{1}{3}\right)^2 + \cos^2\alpha = 1
$$
$$
\frac{1}{9} + \cos^2\alpha = 1
$$
$$
\cos^2\alpha = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}
$$
Bây giờ, lấy căn bậc hai của cả hai vế:
$$
\cos\alpha = \pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}
$$
Vì $\alpha$ thuộc khoảng $(90^\circ, 180^\circ)$, nên $\cos\alpha$ là âm:
$$
\cos\alpha = -\frac{2\sqrt{2}}{3}
$$

### b) Cho biết $\cos\alpha=-\frac{2}{3}$. Tính $\tan\alpha$

Chúng ta sử dụng công thức:
$$
\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1
$$
Thay $\cos\alpha$ vào công thức:
$$
\sin^2\alpha + \left(-\frac{2}{3}\right)^2 = 1
$$
$$
\sin^2\alpha + \frac{4}{9} = 1
$$
$$
\sin^2\alpha = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}
$$
Lấy căn bậc hai:
$$
\sin\alpha = \pm \sqrt{\frac{5}{9}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}
$$
Vì $\cos\alpha < 0$ nên $\sin\alpha > 0$ (góc thuộc phần II):
$$
\sin\alpha = \frac{\sqrt{5}}{3}
$$
Bây giờ, tính $\tan\alpha$:
$$
\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{-\frac{2}{3}} = -\frac{\sqrt{5}}{2}
$$

### c) Cho $\alpha$ là góc tù và $\sin\alpha=\frac{5}{13}$. Tính giá trị của biểu thức $3\sin\alpha + 2\cos\alpha$

Trước tiên, chúng ta cần tính $\cos\alpha$:
$$
\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1
$$
Thay $\sin\alpha$ vào:
$$
\left(\frac{5}{13}\right)^2 + \cos^2\alpha = 1
$$
$$
\frac{25}{169} + \cos^2\alpha = 1
$$
$$
\cos^2\alpha = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}
$$
Lấy căn bậc hai:
$$
\cos\alpha = \pm \sqrt{\frac{144}{169}} = \pm \frac{12}{13}
$$
Vì $\alpha$ là góc tù ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$), nên $\cos\alpha < 0$:
$$
\cos\alpha = -\frac{12}{13}
$$

Giờ, tính giá trị của biểu thức:
$$
3\sin\alpha + 2\cos\alpha = 3 \cdot \frac{5}{13} + 2 \cdot \left(-\frac{12}{13}\right)
$$
$$
= \frac{15}{13} - \frac{24}{13} = \frac{15 - 24}{13} = \frac{-9}{13}
$$

### Tóm tắt đáp án:
a) $\cos\alpha = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$  
b) $\tan\alpha = -\frac{\sqrt{5}}{2}$  
c) $3\sin\alpha + 2\cos\alpha = -\frac{9}{13}$