Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên môn Toán - Vĩnh Phúc năm 2023 - 2024 (Chính thức)

Trích dẫn Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên môn Toán - Vĩnh Phúc năm 2023 - 2024 (Chính thức)

Câu 1 (2,0 điểm), Giải các phương trình sau: $$a)(x-1)(x+2)(x+3)(x+6)=160.$$ $$b)x^2+3x+8=2(x+1)\sqrt{x+7}.$$ Câu 2 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình   $\{\begin{array}{c}x+y+\frac{x+2y}{x{y}^2}=6\hfill \\ x^2+y^2+\frac{x^2+4y^2}{(xy{)}^2}=14\hfill \end{array}$ Câu 3 (2,0 điểm). a) Tìm tất cả các cặp số nguyên   $(x;y)$   thỏa mãn đẳng thức   $(y+2)x^2+1=y^2.$ b) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho   $3n+1,11n+1$   là các số chính phương và   $n+3$   là số nguyên tố. Câu 4 (1,0 điểm). a) Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn   $ab+bc+ca=1.$   Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$P=\frac{2a}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{1+c^2}}.$$ b) Cho ba số thực không âm a,b,c thỏa mãn   $ab+bc+ca+abc\le 4.$   Chứng minh rằng $$a+b+c\ge ab+bc+ca.$$