2. Đề thi vào 10 môn Toán Nam Định năm 2019

Đề bài

Câu 1: Tìm tất cả các giá trị của $$ để hàm số $$ đồng biến trên $$

A. $$                             B. $$                             C. $$                                     D. $$  

Câu 2: Phương trình $$ có hai nghiệm $$ Tính $$  

A. $$                     B. $$                      C. $$                  D. $$   

Câu 3: Cho điểm $$ thuộc đồ thị hàm số $$ Biết $$ Tính $$  

A. $$                                 B. $$                              C. $$                D. $$    

Câu 4: Hệ phương trình $$ có bao nhiêu nghiệm?

A.  0                                        B.  1                                        C. 2                                         D. vô số.

Câu 5: Với các số $$ thỏa mãn $$ thì biểu thức $$ bằng:

A.  $$                                 B. $$                                      C. $$                                  D. $$  

Câu 6: Cho tam giác $$ vuông tại $$ có $$ Tính độ dài đường cao $$ của tam giác $$  

A. $$                     B.  $$              C. $$               D.  $$  

Câu 7: Cho đường tròn tâm $$ bán kính $$ và đường tròn tâm $$ bán kính $$ Biết $$ Số tiếp tuyến chung của hai đường tròn đã cho là:

A. 1                                         B. 2                                         C. 3                                         D. 4

Câu 8: Một quả bóng hình cầu có đường kính bằng $$ Thể tích quả bóng là:

A. $$                          B. $$                                C. $$                             D. $$  

II. TỰ LUẬN (8 điểm)

Câu 1 (1,5 điểm)

a) Rút gọn biểu thức $$.

b) Chứng minh rằng $$ với $$ và $$.

Câu 2 (1,5 điểm):

Cho phương trình $$  (với $$ là tham số).

a) Giải phương trình $$ với $$

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của $$ phương trình $$ luôn có hai nghiệm phân biệt.

c) Gọi $$ là hai nghiệm của phương trình $$ Tìm tất cả các giá trị của $$ để $$

Câu 3 (1 điểm):   Giải hệ phương trình $$

Câu 4 (3,0 điểm)

Qua điểm A nằm ngoài đường tròn $$ vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (B, C là hai tiếp điểm). Gọi E là trung điểm của AC, F là giao điểm thứ hai của EB với đường tròn $$.

a) Chứng minh: tứ giác $$ là tứ giác nội tiếp, tam giác $$ đồng dạng với tam giác $$.

b) Gọi K là giao điểm thứ hai của đường thẳng AF với đường tròn $$. Chứng minh $$.

c) Chứng minh AE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $$.

Câu 5 (1 điểm):

Xét các số $$ thay đổi thỏa mãn $$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Lời giải chi tiết

PHẦN I: TRẮC NGHIỆM:

Câu 1 - Hàm số bậc nhất

Phương pháp:

Hàm số $$ đồng biến trên $$ khi $$ và nghịch biến trên $$ khi $$

Cách giải:

Hàm số $$ đồng biến trên $$

Chọn B.

Câu 2 - Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

Phương pháp:

Phương trình $$ có hai nghiệm $$ thì theo hệ thức Vi-et ta có: $$

Cách giải:

Phương trình $$ có hai nghiệm $$

Khi đó theo hệ thức Vi-et ta có: $$

Chọn A.

Câu 3 - Đồ thị hàm số y = ax^2 (a ≠ 0)

Phương pháp:

Điểm $$ thuộc đồ thị hàm số $$

Cách giải:  

Điểm $$ có hoành độ $$ và thuộc đồ thị hàm số $$

Chọn C.

Câu 4 - Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Phương pháp:

Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số.

Cách giải:

Ta có: $$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

Chọn B.

Câu 5 - Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương

Phương pháp:

Sử dụng công thức $$

Cách giải:

Ta có: $$ vì $$

Chọn D.

Câu 6 - Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Phương pháp:

Sử dụng công thức hệ thức lượng trong tam giác vuông: $$

Cách giải:

Áp dụng hệ thức lượng trong $$ vuông tại $$ có đường cao $$ ta có:

Chọn C.

Câu 7 - Vị trí tương đối của hai đường tròn

Phương pháp:

Cho hai đường tròn $$ và $$ khi đó ta có:

+) $$ thì hai đường tròn nằm ngoài nhau hay hai đường tròn không có điểm chung.

$$ Hai đường tròn có $$ tiếp tuyến chung.

+) $$ thì hai đường tròn đựng nhau hay hai đường tròn không có điểm chung.

$$ Hai đường tròn không có tiếp tuyến chung.

+) $$ thì hai đường tròn cắt nhau hay hai đường tròn có hai điểm chung.

$$ Hai đường tròn có $$ tiếp tuyến chung.

+) $$ thì hai đường tròn tiếp xúc ngoài hay hai đường tròn có một điểm chung.

$$ Hai đường tròn có $$ tiếp tuyến chung.

+) $$ thì hai đường tròn tiếp xúc trong hay hai đường tròn có một điểm chung.

$$ Hai đường tròn có $$ tiếp tuyến chung.

Cách giải:

Ta có: $$

Lại có: $$

$$ Hai đường tròn nằm ngoài nhau

$$ Hai đường tròn có $$ tiếp tuyến chung.

Chọn D.

Câu 8 - Hình cầu - Diện tích mặt cầu và thể tích mặt cầu

Phương pháp:

Thể tích mặt cầu bán kính $$ là: $$ 

Cách giải:

Bán kính của quả bóng là: $$

Thể tích của quả bóng đã cho là: $$

Chọn A.

PHẦN II: TỰ LUẬN

Câu 1 - Ôn tập chương 1: Căn bậc hai. Căn bậc ba

Phương pháp:

a) Sử dụng hằng đẳng thức.

b) Quy đồng, rút gọn.

Cách giải:

a) Rút gọn biểu thức $$.

Ta có:

Vậy $$.

b) Chứng minh rằng $$ với $$ và $$.

Với $$ và $$ ta có:

Vậy $$ với $$ và $$.

Câu 2 - Ôn tập chương 4: Hàm số y = ax^2 (a ≠ 0) - Phương trình bậc hai một ẩn

Phương pháp:

a) Thay $$ vào phương trình và giải phương trình bậc hai.

b) Chứng minh phương trình có $$ với mọi $$

c) Áp dụng định lý Vi-et và biểu thức bài cho để làm bài toán.

Cách giải:

Cho phương trình $$  (với $$ là tham số).

a) Giải phương trình $$ với $$

Thay $$ vào phương trình $$ ta có: $$

Phương trình có: $$

$$ Phương trình có hai nghiệm phân biệt: $$

Vậy với $$ thì phương trình $$ có tập nghiệm: $$

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của $$ phương trình $$ luôn có hai nghiệm phân biệt.

Phương trình $$ có: $$

Vì $$

Vậy phương trình $$ luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi $$

c) Gọi $$ là hai nghiệm của phương trình $$ Tìm tất cả các giá trị của $$ để $$

Với mọi $$ thì  phương trình $$ luôn có hai nghiệm phân biệt $$

Áp dụng định lý Vi-et ta có: $$

Ta có $$ là nghiệm của phương trình $$

Theo đề bài ta có: $$

Thay $$  vào $$ ta được:

Vậy $$ là các giá trị thỏa mãn bài toán.

Câu 3 - Hệ phương trình không mẫu mực

Phương pháp:

+) Cộng vế với vế của hệ phương trình.

+) Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế.

Cách giải: 

Giải hệ phương trình $$

Giải phương trình $$ ta được:

+) Với $$

+) Với $$

+) Với $$

Vậy hệ phương trình có tập nghiệm: $$

Câu 4 - Ôn tập tổng hợp chương 1, 2, 3 - Hình học

Phương pháp:

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp bằng các dấu hiệu nhận biết.

+) Chứng minh tam giác đồng dạng theo trường hợp góc – góc.

b) Chứng minh các tam giác đồng dạng và dựa vào tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau để chứng minh đẳng thức bài yêu cầu.

Cách giải:

a) Chứng minh: tứ giác $$ là tứ giác nội tiếp, tam giác $$ đồng dạng với tam giác $$.

+) Chứng minh: tứ giác $$ là tứ giác nội tiếp:

Do $$ là tiếp tuyến của $$.

Xét tứ giác $$ có: $$ Tứ giác $$ là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰).

+) Chứng minh  

Xét đường tròn $$ ta có:

$$ là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung $$

$$ là góc nội tiếp chắn cung $$

$$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung $$)

Xét $$ và $$ ta có:

b) Gọi K là giao điểm thứ hai của đường thẳng AF với đường tròn $$. Chứng minh $$.

Xét tam giác $$ và tam giác $$ có:

$$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung $$);

 (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ).

Xét tam giác $$ và tam giác $$ có:

$$ chung;

$$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung $$);

 (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ).

Mà $$ (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) nên $$ (3).

Từ (1), (2) và (3) suy ra $$.

c) Chứng minh AE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $$.

Xét tam giác $$ và ta giác $$ có:

$$ chung;

$$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung $$)

.

Mà $$.

Xét tam giác $$ và tam giác $$ có:

  (hai góc tương ứng)

Mà góc $$ là góc nội tiếp chắn cung $$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $$; $$ ở vị trí góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung chắn cung $$).

Vậy $$ là  tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $$.

Câu 5 - Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Phương pháp:

Biến đổi biểu thức bài cho, đặt $$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số.

Cách giải:

Theo đề bài ta có: $$

Ta có: $$

Đặt $$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương $$ ta có:

Dấu “=” xảy ra $$ $$ 

Vậy $$  khi $$