2. Đề thi vào 10 môn Toán Quảng Ninh năm 2020

Đề bài

Câu 1:

1. Thực hiện phép tính $$

2. Rút gọn biểu thức $$ với $$

3. Giải hệ phương trình $$

Câu 2: 

Cho phương trình $$, với $$ là tham số.

1. Giải phương trình với $$.

2. Tìm giá trị của $$ để phương trình đã cho có một nghiệm $$.

3. Tìm giá trị của $$ để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $$ sao cho $$.

Câu 3:

Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 32 km. Một canô xuôi dòng từ bến A đến bến B rồi lập tức quay về bến A. Kể từ lúc khởi hành đến lúc về tới bến A hết tất cả 6 giờ. Tính vận tốc của canô khi nước yên lặng biết vận tốc của dòng nước là 4 km/h.

Câu 4: 

Cho đường tròn $$ và $$ là một điểm nằm bên ngoài đường tròn. Từ điểm A kẻ hai tiếp tuyến $$ và $$ với đường tròn $$ ( B và C là hai tiếp điểm). Gọi $$ là giao điểm của $$ và $$. Kẻ đường kính $$ của đường tròn $$, $$ cắt đường tròn tại điểm thứ hai là $$.

a. Chứng minh $$ là tứ giác nội tiếp

b. Tính độ dài $$ biết $$

c. Chứng minh $$

d. Tia $$ cắt $$ tại $$. Chứng tỏ $$ là trung điểm của $$

Câu 5: 

Cho $$ là các số thực dương thỏa mãn $$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Lời giải chi tiết

Câu 1 (2 điểm)

Cách giải:

1. Thực hiện phép tính $$

Ta có: $$

2. Rút gọn biểu thức $$ với $$

Điều kiện: $$ 

Vậy $$ với $$

3. Giải hệ phương trình $$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $$

Câu 2 (2,0 điểm)

Cách giải:

Cho phương trình $$, với $$ là tham số.

1. Giải phương trình với $$.

Thay $$ vào phương trình đã cho ta có:

Vậy khi $$ thì tập nghiệm của phương trình là $$.

2. Tìm giá trị của $$ để phương trình đã cho có một nghiệm $$.

Vì $$ là một nghiệm của phương trình nên thay $$ vào phương trình ta có:

Vậy khi $$ thì phương trình đã cho có một nghiệm $$.

3. Tìm giá trị của $$ để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $$ sao cho $$.

Ta có: $$.

Để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt $$ thì $$.

Khi đó áp dụng định lí Vi-ét ta có: $$.

Theo bài ra ta có: $$.

Thế vào hệ (*) ta có:

Vậy $$.

Câu 3 (2 điểm)

Cách giải:

Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 32 km. Một canô xuôi dòng từ bến A đến bến B rồi lập tức quay về bến A. Kể từ lúc khởi hành đến lúc về tới bến A hết tất cả 6 giờ. Tính vận tốc của canô khi nước yên lặng biết vận tốc của dòng nước là 4 km/h.

Gọi vận tốc của canô khi nước yên lặng là $$ (km/h) $$

Vận tốc canô khi xuôi dòng là $$ (km/h)

Vận tốc canô khi ngược dòng là $$ (km/h)

Thời gian canô xuôi dòng từ bến A đến bến B là $$ giờ

Thời gian canô ngược dòng từ bến B về bến A là $$ giờ

Vì từ lúc khởi hành đến lúc về tới bến A hết tất cả 6 giờ nên ta có phương trình:

Vậy vận tốc của canô khi nước yên lặng là 12 km/h.

Câu 4 (3,5 điểm)

Cách giải:

Cho đường tròn $$ và $$ là một điểm nằm bên ngoài đường tròn. Từ điểm A kẻ hai tiếp tuyến $$ và $$ với đường tròn $$ ( B và C là hai tiếp điểm). Gọi $$ là giao điểm của $$ và $$. Kẻ đường kính $$ của đường tròn $$, $$ cắt đường tròn tại điểm thứ hai là $$.

a. Chứng minh $$ là tứ giác nội tiếp

Xét đường tròn $$ có $$ và $$ là các tiếp tuyến, $$ là các tiếp điểm tương ứng nên $$

Xét tứ giác $$ có $$ mà hai góc $$ đối nhau nên tứ giác $$ là tứ giác nội tiếp (dhnb)

b. Tính độ dài $$ biết $$

Xét đường tròn $$ có $$ và $$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $$

Suy ra $$ (tính chất), mà $$ nên $$ là đường trung trực của đoạn $$

Do đó $$ tại $$

Xét tam giác $$ vuông tại $$, theo định lý Pytago ta có: $$ $$

Xét tam giác $$ vuông tại $$ có $$ là đường cao, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: $$$$

Vậy $$.

c. Chứng minh $$

Xét tam giác $$ vuông tại $$ có $$ là đường cao, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: $$ (1)

Xét tam giác $$ và tam giác $$ có:

$$ chung

$$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung $$ trong đường tròn $$)

Suy ra $$ 

$$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $$.

d. Tia $$ cắt $$ tại $$. Chứng tỏ $$ là trung điểm của $$

Xét đường tròn $$ có $$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), suy ra $$

Lại có $$ nên $$

Suy ra $$ (so le trong)

Xét $$ có $$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung $$)

Suy ra $$ $$

Xét $$ và $$ có:

$$ chung

$$ (cmt)

Suy ra $$

Theo câu b ta có $$$$

Suy ra $$ $$

Suy ra tứ giác $$ là tứ giác nội tiếp (góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối với đỉnh đó)

Suy ra $$ (cùng phụ với $$)

Xét đường tròn $$ có $$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung $$)

Lại có $$ (do $$ vuông tại $$)

Nên $$  hay $$

Xét tam giác $$ vuông tại H có $$ là đường cao, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

$$ (**)

Từ (*) và (**) suy ra $$ $$ là trung điểm $$.

Câu 5 (0,5 điểm)

Cách giải:

Cho $$ là các số thực dương thỏa mãn $$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Ta có:

Dấu “=” xảy ra khi $$.

Vậy $$ khi $$.