4. Đề thi vào 10 môn Toán Thanh Hóa năm 2018

Đề bài

Câu I: (2,0 điểm)

1)      Giải phương trình: $$

2)      Giải hệ phương trình: $$

Câu II: (2,0 điểm)

Cho biểu thức $$ với $$

1. Rút gọn biểu thức A.
2. Tìm tất cả các giá trị của x để $$

Câu III: (2,0 điểm)

1. Cho đường thẳng $$ . Tìm $$ để đường thẳng (d) song song với đường thẳng $$ và đi qua điểm $$
2. Cho phương trình $$ (m là tham số). Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt $$  với mọi m. Tìm m để các nghiệm đó thỏa mãn hệ thức:

Bài IV: (3,0 điểm)

Cho đường tròn tâm $$, đường kính $$. Gọi $$ lần lượt là các tiếp tuyến của đường tròn $$ tại A và B, I là trung điểm của đoạn thẳng OA, E là điểm thay đổi trên đường tròn $$ sao cho E không trùng với A và B. Đường thẳng d đi qua E và vuông góc với đường thẳng EI cắt $$ lần lượt tại M, N.

1. Chứng minh AMEI là tứ giác nội tiếp.
2. Chứng minh $$
3. Khi điểm E thay đổi, chứng minh tích $$ có giá trị không đổi và tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác MNI theo R.

Câu V: (1,0 điểm)

Cho $$ là các số thực dương thỏa mãn: $$ . Chứng minh $$ 

Lời giải chi tiết

Câu I.

Phương pháp:

1)      Giải phương trình bậc hai 1 ẩn sử dụng công thức nhanh có: $$ . Khi đó phương trình luôn có một nghiệm là: $$ và nghiệm còn lại là: $$

2)      giải hệ phương trình bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số.

Cách giải:

1)      Giải phương trình: $$

Ta có: $$ nên phương trình đã cho luôn có một nghiệm là $$ và nghiệm còn lại là: $$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $$.

2)      Giải hệ phương trình: $$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là: $$

Câu II.

Phương pháp:

1. Phân tích mẫu thành nhân tử sau đó quy đồng các mẫu thức rồi rút gọn.

2. Cho $$ sau đó tìm x và đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.

Cách giải:

Cho biểu thức $$ với $$

1. 1.      Rút gọn biểu thức A.

Vậy với $$ thì $$

1. 2.      Tìm tất cả các giá trị của x để $$

Với $$ ta có: $$ khi đó $$

Kết hợp với điều kiện ta được: $$  thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu III.

Phương pháp:

1.Hai đường thẳng $$  song song với nhau khi và chỉ khi $$ .

Đường thẳng (d’) đi qua điểm A(1;-1) tức là tọa độ điểm A thỏa mãn phương trình đường thẳng.

2.Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt $$  với mọi m: Ta xét biệt thức $$  sau đó chứng minh cho $$ .

Kết hợp hệ thức Viet với đầu bài để tìm được m.

Hệ thức Viet: $$

Cách giải:

1. 1.      Cho đường thẳng $$ . Tìm $$ để đường thẳng (d) song song với đường thẳng $$ và đi qua điểm $$

Đường thẳng (d) song song với đường thẳng (d’) khi và chỉ khi: $$

Khi đó (d) trở thành: $$

Đường thẳng (d’) đi qua điểm $$ nên ta có:

Vậy đường thẳng (d) cần tìm là: $$

1. 2.      Cho phương trình $$ (m là tham số). Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt $$  với mọi m. Tìm m để các nghiệm đó thỏa mãn hệ thức:

Xét biệt thức $$

Vậy phương trình $$ luôn có hai nghiệm phân biệt $$ với mọi m. Giả sử $$

Theo hệ thức Viet ta có: $$

Theo đề ra ta có:

Vậy m = 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài IV.

Phương pháp:

1. Chứng minh tứ giác AMEI có tổng hai góc đối bằng 180⁰.
2. Chứng minh tam giác IEA đồng dạng với tam giác NEB.

Cách giải:

Cho đường tròn tâm $$, đường kính $$. Gọi $$ lần lượt là các tiếp tuyến của đường tròn $$ tại A và B, I là trung điểm của đoạn thẳng OA, E là điểm thay đổi trên đường tròn $$ sao cho E không trùng với A và B. Đường thẳng d đi qua E và vuông góc với đường thẳng EI cắt $$ lần lượt tại M, N.

1.      Chứng minh AMEI là tứ giác nội tiếp. 

Ta có: MA là tiếp tuyến của (O) tại A nên $$

Xét tứ giác $$ có $$

$$  Tứ giác $$ là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰)

2.      Chứng minh $$

Ta có $$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn);

$$;

Xét $$ và $$ có:

$$;

$$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BE);

Do I là trung điểm của OA $$ hay $$.

$$.

3.      Khi điểm E thay đổi chứng minh tích $$ có giá trị không đổi và tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác MNI theo R.

+) Chứng minh tích $$ có giá trị không đổi

Xét tứ giác $$ có $$ Tứ giác $$ là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰)

$$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung NB)

Ta có $$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AI) ;

Mà $$

$$.

Xét $$ và $$ có:

Ta có $$ 

$$.

+) Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác MNI theo R.

Tứ giác BNEI là tứ giác nội tiếp (cmt) $$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EI)

Do tứ giác $$ nội tiếp (cmt) $$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung IE)

$$ ($$ vuông tại E)

$$ vuông tại I $$

Đặt $$.

Xét tam giác vuông AIM có $$

Xét tam giác vuông BIN có : $$

Do $$ và $$.

Dấu bằng xảy ra $$

Vậy $$.

Câu V.

Ta có: