Bài 1 trang 15 SGK Hình học 11

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho điểm \(A(-1;3)\) và đường thẳng \(d\) có phương trình \(x-2y + 3 = 0\). Tìm ảnh của \(A\) và \(d\) qua phép đối xứng tâm \(O\).

Lời giải chi tiết

Gọi \(A'\) là ảnh của \(A\) qua phép đối xứng tâm \(O\), khi đó \(O\) là trung điểm của \(AA'\)

\(  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_O} = \frac{{{x_A} + {x_{A'}}}}{2}\\
{y_O} = \frac{{{y_A} + {y_{A'}}}}{2}
\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2{x_O} - {x_A}\\{y_{A'}} = 2{y_O} - {y_A}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_{A'}} = 2.0 - \left( { - 1} \right) = 1\\
{y_{A'}} = 2.0 - 3 = - 3
\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow A'\left( {1; - 3} \right)\)

Để tìm ảnh của đường thẳng \(d\) ta có thể dùng các cách sau:

Cách 1:

+) Lấy 2 điểm bất kì thuộc \(d.\)

(Bằng cách chọn giá trị cho \(x\) (hoặc \(y\)) rồi thay vào phương trình của \(d\), suy ra giá trị của \(y\) (hay \(x)\). )

Chọn \(y=0\) ta có: \(x-2.0+3=0 \Rightarrow x=-3 \Rightarrow B(-3;0) \in d\)

Chọn \(x=-1\) ta có: \(-1-2y+3=0 \Rightarrow y=1 \Rightarrow C (-1;1) \in d\).

Do đó, đường thẳng \(d\) đi qua \(B(-3;0)\) và \(C (-1;1)\).

+) Tìm ảnh qua phép đối xứng tâm \(O\): 

\(B' = {D_{O}}(B) = (3;0)\) và \(C' = {D_{O}}(C) = (1;-1)\).

Đường thẳng \(B'C'\) là ảnh của \(d\) qua phép đối xứng tâm \(O.\)

\(\overrightarrow {B'C'}  = \left( {2;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{B'C'}}}  = \left( {1; - 2} \right)\) là VTPT của \(B'C'.\)

+) Phương trình\(B'C'\) đi qua \(B'(3;0)\), có \(VTPT \, \overrightarrow {{n_{B'C'}}}  = \left( {1; - 2} \right)\)  là:

\(1(x-3)-2(y-0)=0\) hay \(x-2y-3=0.\)

Cách 2:

Đường thẳng \(d\) đi qua \(B(-3;0)\)

Do \(O\) không thuộc \(d\) nên gọi \(d'\) là ảnh của \(d\) qua phép đối xứng tâm \(O\) thì nó song song với \(d\).

Do đó \(d'\) có phương trình \(x- 2y +C =0\) \(\left( {C \ne 3} \right)\).

Gọi \(B'\) là ảnh của \(B\) qua phép đối xứng tâm \(O\) ta có: \(B' =( 3;0)\)

Vì \(B' \in (d') \Rightarrow 3+C=0 \Rightarrow C = -3\) (tm).

Vậy ảnh của \(d\) qua phép đối xứng tâm \(O\) là đường thẳng \(d'\) có phương trình \(x-2y-3=0\)