Bài 10 trang 33 Chuyên đề Toán 11 Cánh diều

1. Nội dung câu hỏi

Chứng minh rằng các đa giác đều có cùng số cạnh thì đồng dạng với nhau.

2. Phương pháp giải 

Gợi nhớ kiến thức và thực hiện yêu cầu.

3. Lời giải chi tiết

Giả sử cho hai n-giác đều A₁A₂...A_n và B₁B₂…B_n có tâm lần lượt là O và O'. Đặt $k=\frac{B_1{B}_2}{A_1{A}_2}=\frac{O\text{'}{B}_1}{O{A}_1}$ . Gọi V là phép vị tự tâm O, tỉ số k và C₁C₂…C_n là ảnh của đa giác A₁A₂…A_n qua phép vị tự V. Hiển nhiên C₁C₂…C_n cũng là đa giác đều và vì $\frac{C_1{C}_2}{A_1{A}_2}=k$nên C₁C₂ = B₁B₂. Vậy hai n-giác đều C₁C₂….C_n và B₁B₁…B_n có cạnh bằng nhau, tức là có phép dời hình D biến C₁C₂…C_n thành B₁B₂…B_n. Nếu gọi F là phép hợp thành của V và D thì F là phép đồng đạng biến A₁A₂…A_n thành B₁B₂…B_n. Vậy hai đa giác đều đó đồng dạng với nhau.