Bài 11 trang 66 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2

Đề bài

Cho phương trình \({x^2} - 2mx - 1 = 0\)  (m là tham số)

a) Chứng minh phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình trên. Tìm giá trị của m để \({x_1}^2 + {x_2}^2 - {x_1}{x_2} = 15\)

c) Tìm điều kiện của m để \({x_1}^2 + {x_2}^2 - {x_1}{x_2} > 7\)

d) Tìm điều kiện của m để \({x_1}^2 + {x_2}^2 - {x_1}{x_2} - 20 \le 0\)

e) Tìm m để \(E = {x_1}^2 + {x_2}^2 - {x_1}{x_2} + 13\) đạt giá trị nhó nhất.

Lời giải chi tiết

\({x^2} - 2mx - 1 = 0\)

a) Ta có: \(a = 1;b' =  - m;c =  - 1;\)

\(\Delta ' = {\left( { - m} \right)^2} + 1 = {m^2} + 1 > 0,\forall m\)

Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

b) Áp dụnghệ thức Viet cho phương trình bậc hai ta có:: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}.{x_2} =  - 1\end{array} \right.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}x_1^2 + x_2^2 - {x_1}{x_2} = 15\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} - {x_1}{x_2} = 15\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 3{x_1}{x_2} = 15\\ \Leftrightarrow {\left( {2m} \right)^2} - 3.\left( { - 1} \right) = 15\\ \Leftrightarrow 4{m^2} = 12\\ \Leftrightarrow {m^2} = 3\\ \Leftrightarrow m =  \pm \sqrt 3 \end{array}\)

Vậy \(m = \sqrt 3 \) hoặc \(m =  - \sqrt 3 \) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

c) Ta có:

\(\begin{array}{l}x_1^2 + x_2^2 - {x_1}{x_2} > 7\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} - {x_1}{x_2} > 7\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 3{x_1}{x_2} > 7\\ \Leftrightarrow {\left( {2m} \right)^2} - 3.\left( { - 1} \right) > 7\\ \Leftrightarrow 4{m^2} > 4\\ \Leftrightarrow {m^2} - 1 > 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {m + 1} \right) > 0\end{array}\)

TH1:

\(\left\{ \begin{array}{l}m - 1 > 0\\m + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\m >  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 1\)

TH2:

\(\left\{ \begin{array}{l}m - 1 < 0\\m + 1 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 1\\m <  - 1\end{array} \right. \\\Leftrightarrow m <  - 1\)   

Vậy \(m > 1\)  hoặc \(m <  - 1\)thỏa mãn yêu cầu bài toán.

d)

\(\begin{array}{l}x_1^2 + x_2^2 - {x_1}{x_2} - 20 \le 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} - {x_1}{x_2} - 20 \le 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 3{x_1}{x_2} - 20 \le 0\\ \Leftrightarrow {\left( {2m} \right)^2} - 3.\left( { - 1} \right) - 20 \le 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 17 \le 0\\ \Leftrightarrow {m^2} \le \dfrac{{17}}{4}\\ \Leftrightarrow \left( {m - \dfrac{{\sqrt {17} }}{2}} \right)\left( {m + \dfrac{{\sqrt {17} }}{2}} \right) \le 0\end{array}\)

TH1:

\(\left\{ \begin{array}{l}m - \dfrac{{\sqrt {17} }}{2} \le 0\\m + \dfrac{{\sqrt {17} }}{2} \ge 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le \dfrac{{\sqrt {17} }}{2}\\m \ge  - \dfrac{{\sqrt {17} }}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow  - \dfrac{{\sqrt {17} }}{2} \le m \le \dfrac{{\sqrt {17} }}{2}\)

TH2:

\(\left\{ \begin{array}{l}m - \dfrac{{\sqrt {17} }}{2} \ge 0\\m + \dfrac{{\sqrt {17} }}{2} \le 0\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge \dfrac{{\sqrt {17} }}{2}\\m \le  - \dfrac{{\sqrt {17} }}{2}\end{array} \right. \\\Leftrightarrow m \in \emptyset \)          

Vậy  \(\dfrac{{ - \sqrt {17} }}{2} \le m \le \dfrac{{\sqrt {17} }}{2}\)thỏa mãn yêu cầu bài toán.

e)

\(\begin{array}{l}E = {x_1}^2 + {x_2}^2 - {x_1}{x_2} + 13\\ = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 3{x_1}{x_2} + 13\\ = {\left( {2m} \right)^2} - 3.\left( { - 1} \right) + 13\\ = 4{m^2} + 16\end{array}\)

Ta có: \(4{m^2} \ge 0,\forall m \Rightarrow 4{m^2} + 16 \ge 16,\forall m\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của E là 16, dấu “=” xảy ra khi m = 0.