Bài 10 trang 66 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2

Đề bài

Cho phương trình bậc hai với m là tham số \({x^2} + 2x + m = 0\)

a) Tìm m để phương trình có nghiệm

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm.

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn x₁ – 2x₂ = 5.

Lời giải chi tiết

\({x^2} + 2x + m = 0\)

a) Phương trình có nghiệm khi \(\Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow 1 - m \ge 0 \Leftrightarrow m \le 1\)

b) Với \(m \le 1\) thì phương trình có 2 nghiệm

Phương trình có 2 nghiệm cùng âm khi \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} < 0\\{x_1}.{x_2} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2 < 0\\m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 0\)

Kết hợp với điều kiện phương trình có 2 nghiệm ta được: \(0 < m \le 1\)

c)

Áp dụng hệ thức Viet cho phương trình bậc hai \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - 2\,\,\,\left( 2 \right)\\{x_1}{x_2} = m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\)

Kết hợp \({x_1} - 2{x_2} = 5 \Leftrightarrow {x_1} = 5 + 2{x_2}\)

Thay vào (2) ta được:

\(5 + 2{x_2} + {x_2} =  - 2\)

\(\Leftrightarrow 3{x_2} =  - 7\)

\(\Leftrightarrow {x_2} =  - \dfrac{7}{3}\)

\(\Rightarrow {x_1} = 5 + 2.\left( { - \dfrac{7}{3}} \right) = \dfrac{1}{3}\)

Thay x₁, x₂  vào (3) ta được: \(\dfrac{1}{3}.\left( { - \dfrac{7}{3}} \right) = m \Leftrightarrow m = \dfrac{{ - 7}}{9}\)