Bài 13 trang 180 SGK Đại số và giải tích 11

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} {{6 - 3x} \over {\sqrt {2{x^2} + 1} }}\)

Phương pháp giải:

Thay \(x=-2\)

Lời giải chi tiết:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} {{6 - 3x} \over {\sqrt {2{x^2} + 1} }} = {{6 - 3( - 2)} \over {\sqrt {2{{( - 2)}^2} + 1} }} = {{12} \over 3} = 4\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{x - \sqrt {3x - 2} } \over {{x^2} - 4}}\)

Phương pháp giải:

Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của \(x - \sqrt {3x - 2} \), sau đó đưa tử và mẫu về dạng tích để rút gọn nhân tử \(x-2\).

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{x - \sqrt {3x - 2} } \over {{x^2} - 4}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{(x - \sqrt {3x - 2} )(x + \sqrt {3x - 2} )} \over {({x^2} - 4)(x + \sqrt {3x - 2} )}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{{x^2} - 3x + 2} \over {({x^2} - 4)(x + \sqrt {3x - 2} )}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{(x - 2)(x - 1)} \over {(x - 2)(x + 2)(x + \sqrt {3x - 2)} }} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{x - 1} \over {(x + 2)(x + \sqrt {3x - 2} )}} \cr
& = {{2 - 1} \over {(2 + 2)(2 + \sqrt {3.2 - 2} )}} = {1 \over {16}} \cr} \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{{x^2} - 3x + 1} \over {x - 2}}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng đánh giá giới hạn \(\frac{L}{0}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} ({x^2} - 3x + 1) = 4 - 6 + 1 =  - 1\) 

+) \(\left\{ \matrix{
x - 2 > 0 \hfill \cr 
\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} (x - 2) = 0 \hfill \cr} \right.\)

Do đó: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{{x^2} - 3x + 1} \over {x - 2}} =  - \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} (x + {x^2} + ... + {x^n} - {n \over {1 - x}});n \in {N^*}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tổng cấp số nhân tính \(x + {x^2} + ...{x^n}\) thu gọn dãy cần tính giới hạn và tính giới hạn.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(x + {x^2} + ... + {x^n} - \dfrac {n}{{1 - x}} \) \(= \dfrac {{x\left( {1 - {x^n}} \right)}}{{1 - x}} - \dfrac {n}{{1 - x}} \) \(= \dfrac {{x\left( {1 - {x^n}} \right) - n}}{{1 - x}}\)

\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {x + {x^2} + ... + {x^n} - \dfrac {n}{{1 - x}}} \right) \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac {{x\left( {1 - {x^n}} \right) - n}}{{1 - x}}\)

Mà \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left[ {x\left( {1 - {x^n}} \right) - n} \right]\) \( = 1\left( {1 - 1} \right) - n =  - n < 0\)

Và \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {1 - x} \right) = 0\\1 - x > 0\,khi\,x < 1\end{array} \right.\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{x\left( {1 - {x^n}} \right) - n}}{{1 - x}} =  - \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {{2x - 1} \over {x + 3}}\)

Phương pháp giải:

Chia cả tử và mẫu cho x.

Lời giải chi tiết:

\(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {{2x - 1} \over {x + 3}} \) \(\displaystyle = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {{x(2 - {1 \over x})} \over {x(1 + {3 \over x})}} \) \(\displaystyle = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {{2 - {1 \over x}} \over {1 + {3 \over x}}} = 2\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {{x + \sqrt {4{x^2} - 1} } \over {2 - 3x}}\)

Phương pháp giải:

Chia cả từ và mẫu cho x, lưu ý căn bậc hai.

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{x + \sqrt {4{x^2} - 1} } \over {2 - 3x}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{x + |x|\sqrt {4 - {1 \over {{x^2}}}} } \over {2 - 3x}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{x - x\sqrt {4 - {1 \over {{x^2}}}} } \over {2 - 3x}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{x(1 - \sqrt {4 - {1 \over {{x^2}}}} )} \over {x({2 \over x} - 3)}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{1 - \sqrt {4 - {1 \over {{x^2}}}} } \over {{2 \over x} - 3}} \cr
& = {{1 - \sqrt 4 } \over { - 3}} = {1 \over 3} \cr} \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } ( - 2{x^3} + {x^2} - 3x + 1)\)

Phương pháp giải:

Đặt \(x^3\) ra ngoài, đánh giá giới hạn của từng nhân tử và dấu của chúng.

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } ( - 2{x^3} + {x^2} - 3x + 1) \cr 
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^3}( - 2 + {1 \over x} - {3 \over {{x^2}}} + {1 \over {{x^3}}}) = + \infty \cr}\)

Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {x^3} =  - \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( { - 2 + \dfrac{1}{x} - \dfrac{3}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{x^3}}}} \right) =  - 2 < 0\)