Bài 13 trang 225 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Chứng minh A, B,C, D là bốn đỉnh của một khối tứ diện.

Lời giải chi tiết:

=> A, B, C, D không đồng phẳng hay A, B, C, D là bốn đỉnh của một khối tứ diện.

Tính thể tích khối tứ diện ABCD.

Lời giải chi tiết:

Viết phương trình đường cao của tứ diện ABCD hạ từ đỉnh D.

Lời giải chi tiết:

Vectơ chỉ phương của đường cao tứ diện hạ từ đỉnh D có thế lấy là vectơ pháp tuyến của mp(ABC) hay vectơ $$

Vậy đường cao đó có phương trình chính tắc là $$

Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Lời giải chi tiết:

Phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD có dạng

Do A, B, C, D thuộc (S) nên ta có hệ phương trình

Giải hệ ta có : $$

Vậy phương trình mặt cầu (S) là

Suy ra (S) có tâm là $$ và bán kính $$

Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại đỉnh A.

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại A có vectơ pháp tuyến là

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là

Xác định toạ độ của điểm A' đối xứng với điểm A qua mp(BCD).

Lời giải chi tiết:

Ta viết phương trình mp(BCD), đó là mặt phẳng đi qua $$ và các vectơ pháp tuyến $$

Vậy mp(BCD) có phương trình : $$

Đường thẳng qua A và vuông góc với mp(BCD) có phương trình là

Gọi K là giao điểm của đường thẳng này với mp(BCD), toạ độ của K là nghiệm của hệ

Vì A ' là điểm đối xứng với A qua mp(BCD) nên ta có

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD.

Lời giải chi tiết:

Dễ dàng nhận thấy BD song song với mp(xOz) mà mp(xOz) chứa AC nên $$