Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang vuông ở \(A\) và \(D\), cạnh đáy \(AB = a\), cạnh đáy \(CD = 2a\), \(AD = a\). Hình chiếu vuông góc của \(S\) lên đáy trùng với trung điểm của \(CD\). Biết rằng diện tích mặt bên \(\left( {SBC} \right)\) bằng \(\dfrac{{3{a^2}}}{2}\). Thể tích của hình chóp \(S.ABCD\) bằng:

A. \({a^3}\) B. \(\dfrac{{3{a^3}}}{2}\)

C. \(3{a^3}\) D. \(3\sqrt 2 {a^3}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Gọi \(H\) là trung điểm của \(CD\), \(M\) là trung điểm của \(BC\).

- Nhận xét tính chất của tam giác \(HBC\), từ đó tính \(HM,BC\) và suy ra \(SH\).

- Tính thể tích khối chóp theo công thức \(V = \dfrac{1}{3}Sh\).

Lời giải chi tiết

Gọi \(H\) là trung điểm của \(DC\) và \(M\) là trung điểm của \(BC\).

Ta có: \(HB = AD = a,HC = HD = \frac{1}{2}DC = a\)

\(\Rightarrow HB = HC = a \) \(\Rightarrow \Delta HBC\) vuông cân tại H.

\( \Rightarrow BC = \sqrt {H{B^2} + H{C^2}} \) \(= \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \)

Xét tam giác SHB và SHC có:

HB=HC

SH chung

\(\widehat {SHB} = \widehat {SHC} = {90^0}\)

Do đó \(\Delta SHB = \Delta SHC\left( {c - g - c} \right) \)

\(\Rightarrow SB = SC \Rightarrow \Delta SBC\) cân tại S

\( \Rightarrow SM\) vừa là trung tuyến vừa là đường cao.

Lại có \({S_{SBC}} = \dfrac{{3{a^2}}}{2}\) \( \Rightarrow SM = \dfrac{{2{S_{SBC}}}}{{BC}} = \dfrac{{2.\dfrac{{3{a^2}}}{2}}}{{a\sqrt 2 }} = \dfrac{{3a\sqrt 2 }}{2}\).

Tam giác \(SHM\) vuông tại \(H\) có \(HM = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\) và \(SH = \sqrt {S{M^2} - H{M^2}} = 2a\)

Diện tích hình thang \({S_{ABCD}} = \dfrac{1}{2}\left( {AB + CD} \right).AD\) \( = \dfrac{1}{2}\left( {a + 2a} \right).a = \dfrac{{3{a^2}}}{2}\)

Vậy thể tích \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABCD}}.SH\) \( = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{3{a^2}}}{2}.2a = {a^3}\).

Chọn A.

Fqa.vn

Báo cáo nội dung câu hỏi

Khác

Bình luận (0)

Bạn cần đăng nhập để bình luận

Xác nhận

Bạn chắc chắn muốn xóa nội dung này ?

Gợi ý sách

Xem thêm

Bạn có câu hỏi cần được giải đáp?

Bộ sách liên quan

FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)

Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn

Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.

Liên kết · Hỏi đáp bài tập · Giải bài tập SGK · Cẩm nang · Đề ôn luyện

hỗ trợ · Điều khoản & chính sách · Sitemap · Liên hệ · Hướng dẫn sử dụng · Đánh giá và góp ý · Dịch vụ FQA media

Tải ứng dụng FQA

Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024