Bài 16 trang 102 SGK Hình học 12

a) Chứng minh rằng $$ cắt $$.

Phương pháp giải:

Gọi $$ lần lượt là VTPT của hai mặt phẳng $$, chứng minh hai vector $$ không cùng phương.

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng $$ có vectơ pháp tuyến $$

Mặt phẳng $$ có vectơ pháp tuyến $$

Vì $$ và $$ không cùng phương.

Suy ra $$ và $$ cắt nhau.

b) Viết phương trình tham số của đường thẳng $$ là giao của $$ và $$.

Phương pháp giải:

Tìm một điểm thỏa mãn hệ phương trình $$, điểm đó thuộc d.

$$ là 1 VTCP của đường thẳng $$.

Viết phương trình tham số của đường thẳng biết một điểm đi qua và VTCP.

Lời giải chi tiết:

$$ cắt $$ nên $$ và $$ có giá vuông góc với đường thẳng $$, vì vậy vectơ $$) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $$.

Ta có thể chọn vectơ $$ làm vectơ chỉ phương.

Ta tìm một điểm nằm trên $$.

Xét hệ$$

Cho $$ $$ nên $$ hay $$

Phương trình tham số của $$ là:$$

Cách 2:

Phương trình đt d là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \matrix{
4x + y + 2z + 1 = 0 \hfill \cr 
2x - 2y + z + 3 = 0 \hfill \cr} \right.\)

Đặt x = t, ta có:

Vậy giao tuyến của 2 mặt phẳng có PT là 

c) Tìm điểm $$ đối xứng với điểm $$ qua mặt phẳng $$.

Phương pháp giải:

Tìm tọa độ hình chiếu H của điểm M trên mặt phẳng $$.

- Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc với mặt phẳng $$.

- Tìm tọa độ điểm H là giao điểm của d và mặt phẳng $$.

Khi đó H là trung điểm của MM', suy ra tọa độ của điểm M'.

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng $$ có vectơ pháp tuyến $$.

Đường thẳng $$ đi qua $$ và vuông góc với $$, nhận vectơ $$ làm vectơ chỉ phương và có phương trình tham số: 

Gọi $$ $$.

Thay tọa độ $$ vào $$ ta có:

Gọi $$ đối xứng với $$ qua mp $$ thì H là trung điểm MM'

d) Tìm điểm $$ đối xứng với điểm $$ qua đường thẳng $$.

Phương pháp giải:

Tìm tọa độ hình chiếu I của điểm N trên đường thẳng $$.

  - Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua N và vuông góc với đường thẳng $$.

  - Tìm tọa độ điểm I là giao điểm của (P) và đường thẳng $$.

Khi đó I là trung điểm của NN', suy ra tọa độ của điểm N'.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng $$ có vectơ chỉ phương $$.

Mặt phẳng $$ đi qua $$ và vuông góc với $$, nhận $$ làm vectơ pháp tuyến và có phương trình:

$$: $$

Ta tìm giao điểm $$ của $$ và $$. Ta có:

$$ là điểm đối xứng của $$ qua $$ thì $$

$$, $$

Cách khác:

Gọi $$ là hình chiếu của $$ trên $$$$.

$$ đối xứng $$ qua $$ nên $$ là trung điểm $$