Bài 16 trang 56 SBT Hình học 12 Nâng cao

Đề bài

Trong số các hình chóp tam giác đều nội tiếp một mặt cầu bán kính R cho trước, hãy xác định hình chóp có thể tích lớn nhất. Mở rộng bài toán cho hình chóp n- giác đều.

Lời giải chi tiết

Dễ thấy \(R = {{S{A^2}} \over {2SH}}\), từ đó nếu kí hiệu cạnh đáy và chiều cao của hình chóp lần lượt là a và h thì

\(\eqalign{  & R = {{{a^2} + 3{h^2}} \over {6h}}\;\;\;\;\;\;\;(1)  \cr  & {V_{S.ABC}} = {1 \over 3}.{{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}.h\;\;\;(2) \cr} \)

Từ (1) và (2) ta có:

\(\eqalign{  {V_{S.ABC}} &= {{\sqrt 3 } \over {12}}h\left( {6Rh - 3{h^2}} \right)  \cr  &  = {{\sqrt 3 } \over {12}}h.3h\left( {2R - h} \right)  \cr  &  = {{\sqrt 3 } \over 4}h.h\left( {2R - h} \right). \cr} \)

Mặt khác h < 2R nên \({V_{S.ABC}}\) lớn nhất khi và chỉ khi \(h.h.(2R-h)\) lớn nhất.

Điều này xảy ra khi và chỉ khi \(h = {{4R} \over 3}\). Khi đó

\({a^2} = 3h(2R - h) = 4R(2R - {{4R} \over 3}) = {{8{R^2}} \over 3},\) tức là \(a = {{2R\sqrt 6 } \over 3}.\)

Dễ thấy trong trường hợp này, SABC là tứ diện đều có cạnh bằng \({{2R\sqrt 6 } \over 3}.\)

\( \bullet \) Mở rộng bài toán cho hình chóp n- giác đều cạnh a.

Ta cũng có \(R = {{S{A^2}} \over {2SH}}\), trong đó SA là một cạnh bên và SH là đường cao của hình chóp, từ đó \(R = {{{a^2} + 4{h^2}{{\sin }^2}{\pi  \over n}} \over {8h{{\sin }^2}{\pi  \over n}}},\) suy ra \({a^2} = 4h(2R - h){\sin ^2}{\pi  \over n}\)

Gọi S là diện tích đáy của hình chóp n-giác đều cạnh a thì \(S = {{n{a^2}} \over 4}\cot {\pi  \over n}.\)

Khi ấy, thể tích V của khối chóp bằng

\(\eqalign{   V &= {{n{a^2}} \over {12}}\cot {\pi  \over n}.h  \cr  &  = {n \over {12}}\cot {\pi  \over n}.h.4hsi{n^2}{\pi  \over n}.(2R - h)  \cr  &  = {n \over 3}\cot {\pi  \over n}si{n^2}{\pi  \over n}.h.h(2R - h)  \cr  &  = {n \over 6}\cot {\pi  \over n}si{n^2}{\pi  \over n}.h.h(4R - 2h). \cr} \)

Vậy V  lớn nhất khi và chỉ khi \(h = {{4R} \over 3}\) và từ đó

\({a^2} = {\sin ^2}{\pi  \over n}.{{16R} \over 3}(2R - {{4R} \over 3}) = {\sin ^2}{\pi  \over n}.{{32{R^2}} \over 9},\)

Tức là \(a = {{4R\sqrt 2 } \over 3}.\sin {\pi  \over n}.\)

Như thế, trong số các hình chóp n-giác đều nội tiếp một mặt cầu bán kính R cho trước thì hình chóp n-giác đều có chiều cao \(h = {{4R} \over 3}\) và cạnh đáy \(a = {{4R\sqrt 2 } \over 3}\sin {\pi  \over n}\) có thể tích lớn nhất.