Bài 17.9 (VD) - Phần B trang 65

1. Nội dung câu hỏi: 

Một dây dẫn đồng chất, tiết diện đều có điện trở R0 được uốn và hàn thành vòng tròn kín với A và B là hai đầu của một đường kính vòng tròn đó.

a) Gọi M và N là hai đầu của một đường kính khác của vòng dây sao cho MN vuông góc với AB. Nối M và N bởi một đoạn dây dẫn có điện trở không đáng kể. Tính điện trở của đoạn mạch AB theo R₀.

b) Bây giờ không nối tắt giữa M và N như câu a mà người ta dùng một khung dây dẫn kín có dạng một tam giác đều CDE có điện trở không đáng kể mà ba đỉnh luôn tiếp xúc và có thể xoay trượt trên đường tròn (Hình 17.3). Tính điện trở lớn nhất và nhỏ nhất của đoạn mạch AB theo R₀.

2. Phương pháp giải: 

Vận dụng lí thuyết về định luật Ohm.

3. Lời giải chi tiết: 

a) Cấu trúc đoạn mạch $\mathrm{AB}:\left(R_{\mathrm{AM}} / / R_{\mathrm{AN}}\right) \operatorname{nt}\left(R_{\mathrm{MB}} / / \mathrm{R}_{\mathrm{NB}}\right)$.

Theo đề, ta có: $R_{\mathrm{AM}}=R_{\mathrm{AN}}=R_{\mathrm{MB}}=R_{\mathrm{NB}}=\frac{R_0}{4}$.
Suy ra, điện trở tương đương của đoạn mạch $\mathrm{AB}: R_{\mathrm{AB}}=\frac{R_0}{4}$.
b) Điện trở của các cung tròn $\mathrm{CD}, \mathrm{DE}$ và $\mathrm{EC}$ bằng $\frac{R_0}{3}$.

Gọi $R_{\mathrm{AC}}=x, R_{\mathrm{DB}}=y \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}R_{\mathrm{AE}}=\frac{R_0}{3}-x \\ R_{\mathrm{EB}}=\frac{R_0}{3}-y\end{array}\right.$
Điện trở của đoạn mạch $\mathrm{AB}: R_{\mathrm{AB}}=\frac{R_{\mathrm{AE}} \cdot R_{\mathrm{AC}}}{R_{\mathrm{AE}}+R_{\mathrm{AC}}}+\frac{R_{\mathrm{EB}} \cdot R_{\mathrm{DB}}}{R_{\mathrm{EB}}+R_{\mathrm{DB}}}=\frac{x\left(\frac{R_0}{3}-x\right)}{\frac{R_0}{3}}+\frac{y\left(\frac{R_0}{3}-y\right)}{\frac{R_0}{3}}=(x+y)-\frac{3}{R_0}\left[(x+y)^2-2 x y\right]\left(^*\right)$
Ta có: $x+y=\frac{R_0}{2}-\frac{R_0}{3}=\frac{R_0}{6}$
Thay vào phương trình (*), ta được: $R_{\mathrm{AB}}=\frac{R_0}{12}+\frac{6 x y}{R_0}$.
Vì $x+y=\frac{R_0}{6}$ không đổi nên xy lớn nhất khi $x=y=\frac{R_0}{12} \Rightarrow R_{\mathrm{AB}_{\max }}=\frac{R_0}{8}$.
$R_{\mathrm{AB}_{\text {min }}}=\frac{R_0}{12}$ khi $\mathrm{x}$ hoặc $\mathrm{y}$ bằng 0.