Bài 18 trang 56 SBT Hình học 12 Nâng cao

Chứng minh rằng S.ABC là hình chóp đều.

Lời giải chi tiết:

Gọi \({A_1},{B_1},{C_1}\) lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC và \({A_2},{B_2},{C_2}\) lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Vì AB, AC là hai tiếp tuyến với mặt cầu tại \({B_2},{C_2}\) nên \(A{B_2} = A{C_2}\), suy ra AB = AC.

Tương tự ta có BA = BC.

Vậy AB = AC = BC, nghĩa là ABC là tam giác đều.

Gọi O là tâm của tam giác đều ABC thì O cũng là tâm của tam giác đều \({A_2}{B_2}{C_2}\).

Kí hiệu O1 là giao điểm của SO và \(mp({A_1}{B_1}{C_1})\) thì O1 cũng là tâm của tam giác đều \({A_1}{B_1}{C_1}\) (vì phép vị tự tâm S, tỉ số \({1 \over 2}\) biến tam giác ABC thành tam giác \({A_1}{B_1}{C_1}\)).

Do mp(\({A_1}{B_1}{C_1}\)) song song với mp(ABC) nên \({O_1}O\) đi qua tâm I của mặt cầu, đồng thời \({O_1}O\) vuông góc với cả hai mặt phẳng đó, từ đó SA=SB=SC.

Vậy S.ABC là hình chóp đều.

Tính diện tích mặt cầu, biết cạnh đáy và chiều cao của hình chóp lần lượt là a và h.

Lời giải chi tiết:

Dễ thấy tâm I của mặt cầu là trung điểm của \({O_1}O\) và bán kính r của mặt cầu bằng \(I{C_2}\). Ta có \(IC_2^2 = I{O^2} + OC_2^2 = {{{h^2}} \over {16}} + {{{a^2}} \over {12}}.\)

Vậy diện tích mặt cầu đó bằng

\(4\left( {{{{h^2}} \over {16}} + {{{a^2}} \over {12}}} \right)\pi  = \pi \left( {{{{h^2}} \over 4} + {{{a^2}} \over 3}} \right).\)