Bài 2 trang 139 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2

Đề bài

Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + my = 4\\nx + y =  - 3\end{array} \right.\)

a) Tìm giá trị của m, n để hệ phương trình nhận \(x = -2\) và \(y = 3\) làm nghiệm.

b) Tìm giá trị của m, n để hệ phương trình vô nghiệm.

c) Tìm giá trị của m, n để hệ phương trình có vô số nghiệm.

Lời giải chi tiết

a) Thay \(x =  - 2;\,\,y = 3\) vào hệ phương trình ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l} - 2 + 3m = 4\\ - 2n + 3 =  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3m = 6\\2n = 6\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2\\n = 3\end{array} \right.\).

Vậy khi \(m = 2,\,\,n = 3\) thì hệ phương trình nhận \(x =  - 2;\,\,y = 3\) làm nghiệm.

b) TH1: \(n = 0\), khi đó hệ phương trình trở thành

\(\left\{ \begin{array}{l}x + my = 4\\y =  - 3\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3m = 4\\y =  - 3\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3m + 4\\y =  - 3\end{array} \right. \)

\(\Rightarrow \) Hệ phương trình có nghiệm \(\left( {3m + 4; - 3} \right)\) với mọi m \( \Rightarrow n = 0\) không thỏa mãn.

Chứng minh tương tự \(m = 0\) không thỏa mãn.

TH2: \(n \ne 0\). Khi đó hệ phương trình đã cho vô nghiệm

\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{n} = \dfrac{m}{1} \ne \dfrac{4}{{ - 3}} \\\Leftrightarrow mn = 1;\,\,n \ne  - \dfrac{3}{4};\,\,m \ne \dfrac{{ - 4}}{3}\).

Vậy khi \(mn = 1;\,\,n \ne  - \dfrac{3}{4};\,\,m \ne \dfrac{{ - 4}}{3}\) thì hệ phương trình ban đầu vô nghiệm.

c) Theo chứng minh trên, khi \(mn = 0\) hệ phương trình có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow mn = 0\) không thỏa mãn \( \Rightarrow mn \ne 0\).

Hệ phương trình ban đầu có vô số nghiệm

\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{n} = \dfrac{m}{1} = \dfrac{4}{{ - 3}}\\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \dfrac{{ - 4}}{3}\\n = \dfrac{{ - 3}}{4}\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\).

Vậy \(m =  - \dfrac{4}{3};\,\,n =  - \dfrac{3}{4}\).