Bài 32 trang 61 SBT Hình học 12 Nâng cao

Tính bán kính đường tròn (C ) theo R, h,a.

Lời giải chi tiết:

Gọi đường cao của hình nón là SO, một đường sinh của hình nón là SA thì  \(\widehat {SAO} =\alpha \)

Gọi O’, A’ lần lượt là giao của SO, SA với mp(P) và H là hình chiếu của A’ trên OA thì

\(AH = A'H.\cot \alpha  = h.cot\alpha \)

Và bán kính của đường tròn (C ) là

\(R' = O'A' = OA - HA = R - h.\cot \alpha .\)

Tính diện tích và thể tích phần hình nón nằm giữa đáy hình nón N và mặt phẳng (P).

Lời giải chi tiết:

\( \bullet \) Gọi \({S_1}\) là phần diện tích phải tìm, \({S_2}\) là phần diện tích xung quanh hình nón đỉnh S và đáy là (C ). Khi đó \({S_1} = S - {S_2}\) ( S là diện tích xung quanh của hình nón N ), tức là

\(\eqalign{   {S_1} &= \pi R.SA - \pi R'.SA'  \cr  &  = \pi \left( {R.{R \over {\cos \alpha }} - R'.{{R'} \over {\cos \alpha }}} \right)  \cr  &  = {\pi  \over {\cos \alpha }}\left[ {{R^2} - {{(R - h.\cot \alpha )}^2}} \right]  \cr  &  = {\pi  \over {\cos \alpha }}h.\cot \alpha (2R - h.\cot \alpha ) \cr&= {{\pi h} \over {\sin \alpha }}(2R - h.\cot \alpha ). \cr} \)

\( \bullet \) Gọi V1 là phần thể tích cần tìm, V2 là phần thể tích khối nón đỉnh S và đáy là đường tròn (C ). Khi đó

\({V_1} = V - {V_2}\) (V là thể tích hình nón đã cho)

    \(\eqalign{  &  = {1 \over 3}\pi {R^2}.SO - {1 \over 3}\pi R{'^2}.SO'  \cr  &  = {1 \over 3}\pi ({R^2}.R\tan \alpha  - R{'^2}.R'\tan \alpha )  \cr  &  = {1 \over 3}\pi \tan \alpha ({R^3} - R{'^2})  \cr  &  = {1 \over 3}\pi \tan \alpha \left[ {{R^3} - {{(R - h\cot \alpha )}^3}} \right]  \cr  &  = {{\pi h} \over 3}(3{R^2} - 3Rh\cot \alpha  + {h^2}{\cot ^2}\alpha ). \cr} \)