Đề bài
Chứng minh rằng hàm số
\[f(x) = \left\{ \matrix{
{(x - 1)^2}\text{ nếu }x \ge 0 \hfill \cr
- {x^2}\text { nếu } x < 0 \hfill \cr} \right.\]
không có đạo hàm tại điểm \(x = 0\) nhưng có đạo hàm tại điểm \(x = 2\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Điều kiện cần để hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại điểm \(x=x_0\) là hàm số liên tục tại \(x=x_0\).
Sử dụng định nghĩa chứng minh hàm số có đạo hàm tại \(x=x_0\):
Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên khoảng \((a;b)\) và \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\). Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( x_0 \right)}}{{x - {x_0}}}\) thì tồn tại đạo hàm của hàm số tại \(x_0\).
Lời giải chi tiết
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {\left( {x - 1} \right)^2} = {\left( {0 - 1} \right)^2} = 1\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( { - {x^2}} \right) = - {0^2} = 0\\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right)
\end{array}\)
Do đó hàm số \(y = f(x)\) gián đoạn tại \(x = 0\).
Vậy hàm số không có đạo hàm tại điểm \(x = 0\) (vi phạm điều kiện cần).
Xét giới hạn:
\(\begin{array}{l}
\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 2 \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} - 1}}{{x - 2}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 2x}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x\left( {x - 2} \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} x = 2
\end{array}\)
Vậy hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm tại \(x = 2\) và \(f'(2) = 2\).
Bài giảng ôn luyện kiến thức cuối học kì 2 môn Sinh học lớp 11
Chủ đề 2. Chủ nghĩa xã hội từ năm 1917 đến nay
Bài giảng ôn luyện kiến thức giữa học kì 1 môn Hóa học lớp 11
Ngữ pháp
Chủ đề: Sử dụng các yếu tố tự nhiên, dinh dưỡng để rèn luyện sức khỏe và phát triển thể chất
SBT Toán Nâng cao Lớp 11
SGK Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SGK Toán 11 - Cánh Diều
SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh Diều
Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo
SBT Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SBT Toán 11 - Cánh Diều
SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Tổng hợp Lí thuyết Toán 11
Bài giảng ôn luyện kiến thức môn Toán lớp 11
SBT Toán Lớp 11
SGK Toán Nâng cao Lớp 11
Quên mật khẩu ?
Hoặc đăng nhập với
Điểm cần để chuộc tội: 0
Bé Cà đang rất bực vì quỹ điểm của bạn đã đạt ngưỡng báo động. Bé Cà đã tắt quyền đặt câu hỏi của bạn. Mau kiếm bù điểm chuộc lỗi với bé Cà
FQA tặng bạn
HSD: -
Xem lại voucher tại Trang cá nhân -> Lịch sử quà tặng
FQA tặng bạn
HSD: -
Xem lại voucher tại Trang cá nhân -> Lịch sử quà tặng
Để nhận quà tặng voucher bạn cần hoàn thành một nhiệm vụ sau