Bài 1. Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng
Bài 2. Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song
Bài 3. Đường thẳng và mặt phẳng song song
Bài 4. Hai mặt phẳng song song
Bài 5. Phép chiếu song song. Hình biểu diễn của một hình không gian
Ôn tập chương II. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song
Đề bài
Cho vectơ \( \overrightarrow{v}\), đường thẳng \(d\) vuông góc với giá của vectơ \( \overrightarrow{v}\). Gọi \(d'\) là ảnh của \(d\) qua phép tịnh tiến theo vectơ \( \dfrac{1}{2}\) \( \overrightarrow{v}\). Chứng minh rằng phép tịnh tiến theo vectơ \( \overrightarrow{v}\) là kết quả của việc thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua các đường thẳng \(d\) và \(d'\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng định nghĩa phép tịnh tiến và phép đối xứng trục.
Phép tịnh tiến theo vector \(\overrightarrow v \) biến điểm \(A\) thành điểm \(A’\) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow v \).
Phép đối xứng trục \(d\) biến điểm \(A\) thành \(A’\) \( \Leftrightarrow \) \(d\) là trung trực của \(AA’.\)
Lời giải chi tiết
Lấy \(A\) bất kì thuộc đường thẳng \(d,\) xác định điểm \(B\) sao cho \(\overrightarrow {AB} = {{\overrightarrow v } \over 2}\), qua \(B\) kẻ đường thẳng \(d’ // d\). Khi đó \(d’\) chính là ảnh của đường thẳng \(d\) qua phép tịnh tiến theo vector \({{\overrightarrow v } \over 2}\).
Lấy M\) là một điểm bất kì, gọi \(M' = {D_d}\left( M \right);\,\,M'' = {D_{d'}}\left( {M'} \right)\)
Gọi \({M_0} = MM' \cap d;\,\,{M_1} = M'M'' \cap d' \Rightarrow {M_0}\) và \({M_1}\) lần lượt là trung điểm của \(MM'\) và \(M'M''\).
Ta có \(\overrightarrow {MM'} = 2\overrightarrow {{M_0}M'} ;\,\,\overrightarrow {M'M''} = 2\overrightarrow {M'{M_1}} \)
\(\eqalign{ & \Rightarrow \overrightarrow {MM''} = \overrightarrow {MM'} + \overrightarrow {M'M''} = 2\overrightarrow {{M_0}M'} + 2\overrightarrow {M'{M_1}} \cr & = 2\left( {\overrightarrow {{M_0}M'} + \overrightarrow {M'{M_1}} } \right) = 2\overrightarrow {{M_0}{M_1}} = 2\overrightarrow {AB} \cr&= \overrightarrow v \cr & \Rightarrow {T_{\overrightarrow v }}\left( M \right) = M'' \cr} \)
Vậy phép tịnh tiến theo vector \(\overrightarrow v \) là kết quả của việc thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua các đường thẳng \(d\) và \(d'\).
Chương 1. Trao đổi chất và chuyển hóa năng lượng ở sinh vật
Chuyên đề 2. Một số vấn đề về du lịch thế giới
Bài 10: Tiết 3: Thực hành: Tìm hiểu sự thay đổi của nền kinh tế Trung Quốc - Tập bản đồ Địa lí 11
Review Unit 4
Bài 13: Hydrocarbon không no
SGK Toán Nâng cao Lớp 11
SBT Toán Lớp 11
SBT Toán Nâng cao Lớp 11
SGK Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SGK Toán 11 - Cánh Diều
SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh Diều
Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo
SBT Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SBT Toán 11 - Cánh Diều
SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Tổng hợp Lí thuyết Toán 11
Bài giảng ôn luyện kiến thức môn Toán lớp 11