Bài 4 trang 92 SGK Đại số và Giải tích 11

\(u_n= \dfrac{1}{n}-2\)

Phương pháp giải:

Để xét tính tăng, giảm có dãy số ta có 2 cách sau: 

Cách 1: Xét hiệu \(u_{n+1}-u_n\)

+) Nếu hiệu trên lớn hơn \(0\) chứng tỏ \(u_{n+1}>u_n\) do đó dãy số là dãy tăng.

+) Nếu hiệu trên nhỏ hơn \(0\) chứng tỏ \(u_{n+1}<u_n\) do đó dãy số là dãy giảm.

Cách 2: Xét thương \(\dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\)

+) Nếu thương trên lớn hơn \(1\) chứng tỏ \(u_{n+1}>u_n\) do đó dãy số là dãy tăng.

+) Nếu thương trên nhỏ hơn \(1\) chứng tỏ \(u_{n+1}<u_n\) do đó dãy số là dãy giảm.

Lời giải chi tiết:

Xét hiệu

\({u_{n + 1}} - {u_n} = \dfrac{1}{{n + 1}} - 2 - \left( {\dfrac{1}{n} - 2} \right) \) \(= \dfrac{1}{{n + 1}} - \dfrac{1}{n}\)

\( = \frac{{n - \left( {n + 1} \right)}}{{n\left( {n + 1} \right)}} = \frac{{ - 1}}{{n\left( {n + 1} \right)}} < 0,\forall n \in {N^*}\)

\( \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} < 0\,\,\forall n \in N^*\)

\( \Rightarrow {u_{n + 1}} < {u_n},\forall n \in {N^*}\)

Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.

Cách khác:

Với mọi \(n \in  N*\)  ta có:

\[{u_{n + 1}} = \frac{1}{{n + 1}} - 2 < \frac{1}{n} - 2 < {u_n}\]

Do đó \((u_n)\) là dãy số giảm.

\(u_n= \dfrac{n-1}{n+1}\)

Lời giải chi tiết:

Xét hiệu \(u_{n+1}-u_n= \dfrac{n+1-1}{n+1+1}-\dfrac{n-1}{n+1}\) \(=\dfrac{n}{n+2}-\dfrac{n-1}{n+1}\) \( = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right) - \left( {n - 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\)

\( = \dfrac{{{n^2} + n - \left( {{n^2} - n + 2n - 2} \right)}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\)\( = \dfrac{{{n^2} + n - \left( {{n^2} + n - 2} \right)}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\) \(=  \dfrac{n^{2}+n- n^{2}-n+2}{(n+1)(n+2)}\) \(=\dfrac{2}{(n+1)(n+2)}>0\)

\(\Rightarrow u_{n+1}> u_n \forall n \in  {\mathbb N}\)

Vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.

Cách khác:

\({u_n} = \frac{{n - 1}}{{n + 1}} = \frac{{n + 1 - 2}}{{n + 1}} = \frac{{n + 1}}{{n + 1}} - \frac{2}{{n + 1}} = 1 - \frac{2}{{n + 1}}\)

Với mọi n thuộc N* ta có:

\(\begin{array}{l}
{u_{n + 1}} = 1 - \frac{1}{{\left( {n + 1} \right) + 1}} = 1 - \frac{1}{{n + 2}}\\
{u_n} = 1 - \frac{1}{{n + 1}}\\
\frac{1}{{n + 2}} < \frac{1}{{n + 1}} \Rightarrow - \frac{1}{{n + 2}} > - \frac{1}{{n + 1}}\\
\Rightarrow 1 - \frac{1}{{n + 2}} > 1 - \frac{1}{{n + 1}} \Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}
\end{array}\)

Vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.

\({u_n} = {( - 1)^n}({2^n} + 1)\)

Lời giải chi tiết:

Nhận xét: 

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\;{u_1}\; < {\rm{ }}0,{\rm{ }}{u_2}\; > {\rm{ }}0,{\rm{ }}{u_3}\; < {\rm{ }}0,{\rm{ }}{u_4}\; > {\rm{ }}0,{\rm{ }} \ldots }\\
{ \Rightarrow \;{u_1}\; < {\rm{ }}{u_2},{\rm{ }}{u_2}\; > {\rm{ }}{u_3},{\rm{ }}{u_3}\; < {\rm{ }}{u_4},{\rm{ }} \ldots }
\end{array}\)

⇒ dãy số \((u_n)\)không tăng, không giảm.

Chú ý:

Các dãy số mà có số hạng đan dấu là dãy số không tăng và cũng không giảm.

\(u_n= \dfrac{2n+1}{5n+2}\)

Phương pháp giải:

Xét thương \( \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}\) (vì \(u_n> 0\)  với mọi \(n \in  {\mathbb N}^*\) ) rồi so sánh với \(1\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({u_{n + 1}} = \frac{{2\left( {n + 1} \right) + 1}}{{5\left( {n + 1} \right) + 2}} = \frac{{2n + 3}}{{5n + 7}}\)

\( \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}\) \( =\dfrac{2n+3}{5n+7}:\dfrac{2n+1}{5n+2 }\)

\( =\dfrac{2n+3}{5n+7}.\dfrac{5n+2}{2n+1}\)

\( = \dfrac{{\left( {2n + 3} \right)\left( {5n + 2} \right)}}{{\left( {5n + 7} \right)\left( {2n + 1} \right)}}\)

\(= \dfrac{{10{n^2} + 15n + 4n + 6}}{{10{n^2} + 14n + 5n + 7}}\)

\(=\dfrac{10n^{2}+19n+6}{10n^{2}+19n+7}<1\) với mọi \(n \in  {\mathbb N}^*\)

(Vì \(10{n^2} + 19n + 6 < 10{n^2} + 19n + 7\))

Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm dần.

Cách khác:

\(\begin{array}{l}
{u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{2\left( {n + 1} \right) + 1}}{{5\left( {n + 1} \right) + 2}} - \frac{{2n + 1}}{{5n + 2}}\\
= \frac{{2n + 3}}{{5n + 7}} - \frac{{2n + 1}}{{5n + 2}}\\
= \frac{{\left( {2n + 3} \right)\left( {5n + 2} \right) - \left( {2n + 1} \right)\left( {5n + 7} \right)}}{{\left( {5n + 7} \right)\left( {5n + 2} \right)}}\\
= \frac{{\left( {10{n^2} + 15n + 4n + 6} \right) - \left( {10{n^2} + 5n + 14n + 7} \right)}}{{\left( {5n + 7} \right)\left( {5n + 2} \right)}}\\
= \frac{{ - 1}}{{\left( {5n + 7} \right)\left( {5n + 2} \right)}} < 0,\forall n \in {N^*}\\
\Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} < 0,\forall n \in {N^*}\\
\Rightarrow {u_{n + 1}} < {u_n},\forall n \in {N^*}
\end{array}\)