Bài 5 trang 26 SGK Hình học 12

Đề bài

Cho hình chóp tam giác \(O.ABC\) có ba cạnh \(OA, OB, OC\) đôi một vuông góc với nhau và \(OA = a, OB = b, OC = c\). Hãy tính đường cao \(OH\) của hình chóp.

Lời giải chi tiết

Kẻ \(\displaystyle AD\,\bot \, BC, OH  \, \bot  \, AD\) ta chứng minh \(\displaystyle OH\) chính là đường cao của hình chóp.

\(\displaystyle \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
BC \,  \bot  \, OA\\
BC  \, \bot  \, AH
\end{array} \right. \Rightarrow BC \,  \bot  \, \left( {OAH} \right) \\\Rightarrow BC  \, \bot  \, OH\,\,\,\,\left( 1 \right)\\
\left\{ \begin{array}{l}
AC \,  \bot  \, BH\\
AC  \, \bot  \, OB
\end{array} \right. \Rightarrow AC  \, \bot  \, \left( {OBH} \right) \\\Rightarrow AC  \, \bot  \, OH\,\,\,\,\left( 2 \right)\\
\left( 1 \right);\left( 2 \right) \Rightarrow OH  \, \bot  \, \left( {ABC} \right)
\end{array}\)

Vậy \(\displaystyle OH\) chính là đường cao của hình chóp.

\(\displaystyle BC  \, \bot  \, \left( {OAH} \right) \Rightarrow BC  \, \bot  \, \left( {OAD} \right) \) \(\Rightarrow BC \bot OD\).

Tam giác \(OBC\) vuông tại \(O\) nên \(BC = \sqrt {O{B^2} + O{C^2}}  = \sqrt {{b^2} + {c^2}} \)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(OBC\) ta có:

\(\displaystyle OD.BC = OB.OC\) nên \(\displaystyle OD  = \frac{{OB.OC}}{{BC}}={{bc} \over {\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}\).

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông \(OAD\) ta có:

\(\displaystyle AD  = \sqrt {A{O^2} + O{D^2}} \) \(= \sqrt {{a^2} + \dfrac {{b^2}{c^2}}  {{b^2} + {c^2}}}\) 

\(\displaystyle = \sqrt {{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} \over {{b^2} + {c^2}}}}\) .

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(OAD\) ta có: \(\displaystyle OH.AD = OA.OD\) nên

\(\displaystyle OH  = \dfrac{{OA.OD}}{{AD}}\) \(=\displaystyle {{abc} \over {\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}:\sqrt {{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} \over {{b^2} + {c^2}}}}  \) \(\displaystyle = {{abc} \over {\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} }}\).

Cách khác:

Tam giác \(OBC\) vuông tại \(O\) có \(OD\) là đường cao nên \(\displaystyle \frac{1}{{O{D^2}}} = \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\)

Tam giác \(AOD\) vuông tại \(O\) có chiều cao \(OH\) nên

\(\displaystyle \frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{D^2}}}\) \(\displaystyle = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\) \( \displaystyle = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} = \frac{{{b^2}{c^2} + {c^2}{a^2} + {a^2}{b^2}}}{{{a^2}{b^2}{c^2}}}\)

\( \Rightarrow O{H^2} =\displaystyle \frac{{{a^2}{b^2}{c^2}}}{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}}}\)

\( \Rightarrow OH = \displaystyle \frac{{abc}}{{\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} }}\)

Chú ý: Ta thấy khi \(OABC\) là tứ diện vuông (\(OA, OB, OC\) đôi một vuông góc) thì: \(\displaystyle \frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\).

Từ nay về sau các em sử dụng kết quả này để các bài toán nhanh chóng hơn.