Bài 51 trang 12 SBT Hình học 12 Nâng cao

Đề bài

Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ một điểm nằm trong một hình lăng trụ đều đến các mặt của nó không phụ thuộc vào vị trí của điểm nằm trong hình lăng trụ đó.

Lời giải chi tiết

Gọi hình lăng trụ đều đã cho là H.

Khi đó, dễ thấy tổng các khoảng cách từ một điểm nằm trong H đến hai mặt đáy của nó luôn bằng chiều cao h của H.

Giả sử I là một điểm trong nào đó của H .

Dựng qua I một mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với cạnh bên của H, ta được thiết diện thẳng A₁A₂…A_n của H. Khi đó, A₁A₂…A_n là một đa giác đều bằng đa giác đáy của H (do H là lăng trụ đều).

Từ I ta kẻ đường \(I{H_1} \bot {A_1}{A_2},I{H_2} \bot {A_2}{A_3},...I{H_n} \bot {A_n}{A_1}.\)

Do thiết diện thẳng vuông góc với các mặt bên nên từ đó dễ dàng suy ra : \(I{H_1},I{H_2},...,I{H_n}\) lần lượt vuông góc với các mặt bên của hình lăng trụ .

Đặt \(I{H_1} = {h_1},I{H_2} = {h_2},...,I{H_n} = {h_n}\) và a là độ dài cạnh đáy của lăng trụ.

Gọi S là diện tích một mặt đáy thì S cũng là diện tích của A₁A₂…A_n. Vậy

\(\eqalign{  & S = {1 \over 2}a{h_1} + {1 \over 2}a{h_2} + ... + {1 \over 2}a{h_n} \cr&\;\;\;= {1 \over 2}a({h_1} + {h_2} + ... + {h_n})  \cr  &  \Rightarrow {h_1} + {h_2} + ... + {h_n} = {{2S} \over a}. \cr} \)

Vậy tổng các khoảng từ I đến các mặt của lăng trụ là không đổi.

Tổng này bằng \(h+{{2S} \over a}.\)