Bài 6 trang 37 SGK Đại số và Giải tích 11

\(\tan (2x + 1)\tan (3x - 1) = 1\)

Phương pháp giải:

+) Tìm ĐKXĐ.

+) Sử dụng công thức \({1 \over {\tan x}} = \cot x = \tan \left( {{\pi  \over 2} - x} \right)\)

+) Đưa phương trình về dạng phương trình lượng giác cơ bản của tan: \(\tan x = \tan \alpha  \Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(a)\,\,\tan \left( {2x + 1} \right)\tan \left( {3x - 1} \right) = 1\)

ĐK: \(\left\{ \matrix{  \cos \left( {2x + 1} \right) \ne 0 \hfill \cr   \cos \left( {3x - 1} \right) \ne 0 \hfill \cr}  \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2x + 1 \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \\
3x - 1 \ne \frac{\pi }{2} + k\pi
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2x \ne \frac{\pi }{2} - 1 + k\pi \\
3x \ne \frac{\pi }{2} + 1 + k\pi
\end{array} \right.  \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne \frac{\pi }{4} - \frac{1}{2} + \frac{{k\pi }}{2}\\
x \ne \frac{\pi }{6} + \frac{1}{3} + \frac{{k\pi }}{3}
\end{array} \right.\)

\(\eqalign{  & pt \Leftrightarrow \tan \left( {2x + 1} \right) = {1 \over {\tan \left( {3x - 1} \right)}} \cr   &  \Leftrightarrow \tan \left( {2x + 1} \right) = \cot \left( {3x - 1} \right)\cr & \Leftrightarrow \tan \left( {2x + 1} \right) = \tan \left( {{\pi  \over 2} - 3x + 1} \right)  \cr   &  \Leftrightarrow 2x + 1 = {\pi  \over 2} - 3x + 1 + k\pi   \cr   &  \Leftrightarrow 5x = {\pi  \over 2} + k\pi   \cr   &  \Leftrightarrow x = {\pi  \over {10}} + {{k\pi } \over 5}\,\,\left( {k \in Z} \right)\,\,\left( {tm} \right) \cr} \)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = {\pi  \over {10}} + {{k\pi } \over 5}\,\,\left( {k \in Z} \right)\).

\(\tan x + \tan \left( {x + {\pi  \over 4}} \right) = 1\)

Phương pháp giải:

+) Tìm ĐKXĐ.

+) Sử dụng công thức \(\tan \left( {a + b} \right) = {{\tan a + \tan b} \over {1 - \tan a\tan b}}\)

+) Đặt \(t = \tan x\), đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai ẩn t, giải phương trình tìm nghiệm t.

+) Giải phương trình lượng giác cơ bản của tan: \(\tan x = \tan \alpha  \Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(b)\,\,\tan x + \tan \left( {x + {\pi  \over 4}} \right) = 1\)

ĐK: \(\left\{ \matrix{  \cos x \ne 0 \hfill \cr   \cos \left( {x + {\pi  \over 4}} \right) \ne 0  \hfill \cr}  \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \\
x + \frac{\pi }{4} \ne \frac{\pi }{2} + k\pi
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \\
x \ne \frac{\pi }{4} + k\pi
\end{array} \right.\)

Khi đó,

\(PT \Leftrightarrow \tan x + \frac{{\tan x + \tan \frac{\pi }{4}}}{{1 - \tan x\tan \frac{\pi }{4}}} = 1\)

\(\eqalign{  & \Leftrightarrow \tan x + {{\tan x + 1} \over {1 - \tan x}} = 1  \cr   &  \Leftrightarrow \tan x - {\tan ^2}x + \tan x + 1 = 1 - \tan x  \cr   &  \Leftrightarrow {\tan ^2}x - 3\tan x = 0  \cr   &  \Leftrightarrow \tan x\left( {\tan x - 3} \right) = 0  \cr   &  \Leftrightarrow \left[ \matrix{  \tan x = 0 \hfill \cr   \tan x = 3 \hfill \cr}  \right.  \cr   &  \Leftrightarrow \left[ \matrix{  x = k\pi  \hfill \cr   x = \arctan 3 + k\pi  \hfill \cr}  \right.\,\,\,\left( {k \in Z} \right)  (tm) \cr} \)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = k\pi \) hoặc \(x = \arctan 3 + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\).