Bài 6 trang 45 SGK Giải tích 12

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $(C)$ của hàm số $f(x)  = - {x^3} + 3{x^2} + 9x + 2.$

Phương pháp giải:

*Tập xác định

Tìm tập xác định của hàm số

*Sự biến thiên của hàm số

- Xét chiều biến thiên của hàm số

+ Tính đạo hàm $y’$

+ Tại các điểm đó đạo hàm $y’$ bằng 0 hoặc không xác định

+ Xét dấu đạo hàm $y’$ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.

- Tìm cực trị

- Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có)

- Lập bảng biến thiên (Ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên)

*Đồ thị

Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị,

- Nếu hàm số tuần hoàn với chu kì $T$ thì chỉ cần khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị trên một chu kì, sau đó tịnh tiến đồ thị song song với trục $Ox$

- Nên tính thêm tọa độ một số điểm, đặc biệt là tọa độ các giao điểm của đồ thị với các trục  tọa độ.

- Nêu lưu ý đến tính chẵn , tính lẻ của hàm số và tính đối xứng của đồ thị để vẽ cho chính xác.

Lời giải chi tiết:

Tập xác định: $D =\mathbb R$

* Sự biến thiên:  

Ta có:$ y' = - 3{x^2} + 6x + 9.$

$ \Rightarrow y'=0  \Leftrightarrow - 3{x^2} + 6x + 9 = 0   $

$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow - 3\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x + 1 = 0\\
x - 3 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - 1\\
x = 3
\end{array} \right..
\end{array}$

- Hàm số đồng biến trên khoảng: $(-1;3)$, nghịch biến trên khoảng $(-\infty; -1)$ và $(3;+\infty)$

- Cực trị:

    Hàm số đạt cực đại tại $x=3$; $y_{CĐ}=29$

    Hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1$; $y_{CT}=-3$

- Giới hạn:

   $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = + \infty$
   $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = - \infty $

-Bảng biến thiên:

* Đồ thị

Đồ thị hàm số giao trục $Oy$ tại điểm $(0;2)$

Đồ thị hàm số nhận $I(1;13)$ làm tâm đối xứng.

b) Giải bất phương trình $f’(x-1)>0.$

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm $y=f'(x).$ Thay $x-1$ vào vị trí của $x$ để tính $f'(x-1)$ và giải bất phương trình $f'(x-1)>0.$

Lời giải chi tiết:

$y=f(x)  = - {x^3} + 3{x^2} + 9x + 2$

$f’(x) = - 3{x^2} + 6x + 9$. 

$ \Rightarrow f’(x-1)=-3(x-1)^2+6(x-1)+9$

$ =  - 3\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + 6x - 6 + 9 $ $=  - 3{x^2} + 6x - 3 + 6x + 3$

= $-3x^2+ 12x $

$ \Rightarrow f'(x-1)> 0 $ $ \Leftrightarrow  - 3{x^2} + 12x > 0 \Leftrightarrow 0 < x < 4$

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ tại điểm có hoành độ $x_0,$ biết rằng $f’’(x_0) = -6.$

Phương pháp giải:

Giải phương trình $f''(x_0)=-6$ để tìm $x_0.$ Sau đó viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $(C)$ theo công thức: $y=y'(x_0)(x-x_0)+y(x_0).$

Lời giải chi tiết:

Có $f’’(x) = -6x+6$

$f’’(x_0)= -6 ⇔ -6x_0+ 6 = -6 $ $⇔ x_0= 2$

Do đó: $f’(2) = 9, f(2) = 24$.

Phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại $x_0= 2$ là:

$y=f’(2)(x-2) + f(2)  $ $⇔  y=9(x-2) +24 $ $⇔y = 9x+6.$