Bài 6 trang 58 SGK Đại số và Giải tích 11

\(11^{10} – 1\) chia hết cho \(100\)

Phương pháp giải:

Sử dụng khai triển nhị thức Newton.

Phân tích \({11^{10}} = {\left( {1 + 10} \right)^{10}}\).

Lời giải chi tiết:

\({11^{10}} - 1 = {\left( {1 + 10} \right)^{10}} - 1 \)

\(\begin{array}{l}
= (C_{10}^0{1^{10}}{.10^0} + C_{10}^1{.1^9}{.10^1} + ...\\
+ ... + C_{10}^9{.1^1}{.10^9} + C_{10}^{10}{1^0}{.10^{10}}) - 1
\end{array}\)

\(= (1 + C_{10}^1.10 + C_{10}^2{.10^2}\) \(+ ... + C_{10}^9{.10^9} + {10^{10}}) - 1\)

\(=10.10+ C^2_{10}{10^2} +  \ldots  + C^9_{10}{10^9} +{10^{10}}\)

\( = 100\left( {1 + C_{10}^2 + C_{10}^3.10 + ... + {{10}^8}} \right)\)

Tổng sau cùng chia hết cho \(100\) suy ra \(11^{10} – 1\) chia hết cho \(100\).

\(101^{100}– 1\) chia hết cho \(10 000\)

Phương pháp giải:

Sử dụng khai triển nhị thức Newton.

Phân tích \({101^{100}} = {\left( {1 + 100} \right)^{100}}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có

\({101^{100}}-1{\rm{ }} = {\rm{ }}{\left( {1{\rm{ }} + {\rm{ }}100} \right)^{100}} - {\rm{ }}1\)

\(\begin{array}{l}
= (C_{100}^0{.1^{100}}{.100^0} + C_{100}^1{.1^{99}}{.100^1} + ...\\
+ ... + C_{100}^{99}{.1^1}{.100^{99}} + C_{100}^{100}{.100^{100}}) - 1
\end{array}\)

\(= (1 + C_{100}^1.100 + C_{100}^2{100^2} + ... \) \(+C_{100}^{99}{100^{99}} + {100^{99}}) - 1\)

\( = {100^2} + C_{100}^2{.100^2} + ... + C_{100}^{99}{.100^{99}} + {100^{100}}\)

\( = {100^2}\left( {1 + C_{100}^2 + C_{100}^3.100 + ... + {{100}^{98}}} \right)\)

Tổng sau cùng chia hết cho \(100^2=10 000\) nên \(101^{100}– 1\) chia hết cho \(10 000\).

\(\sqrt{10}[{(1 + \sqrt{10})}^{100} – {(1- \sqrt{10})}^{100}]\) là một số nguyên

Phương pháp giải:

Sử dụng khai triển nhị thức Newton.

Khai triển \({\left( {1 + \sqrt {10} } \right)^{100}}\) và \({\left( {1 - \sqrt {10} } \right)^{100}}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\({(1 + \sqrt {10} )^{100}} = C_{100}^0 + C_{100}^1\sqrt {10}  + C_{100}^2{\left( {\sqrt {10} } \right)^2} + ... \)

\(+ C_{100}^{99}{\left( {\sqrt {10} } \right)^{99}} + C_{100}^{100}{\left( {\sqrt {10} } \right)^{100}}\)

\({(1  - \sqrt {10} )^{100}} = C_{100}^0  - C_{100}^1\sqrt {10}  + C_{100}^2{\left( {\sqrt {10} } \right)^2} - ... \)

\(- C_{100}^{99}{\left( {\sqrt {10} } \right)^{99}} + C_{100}^{100} {\left( {\sqrt {10} } \right)^{100}}\)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow {\left( {1 + \sqrt {10} } \right)^{100}} - {\left( {1 - \sqrt {10} } \right)^{100}} = \left[ {C_{100}^0 + C_{100}^1\sqrt {10} + ... + C_{100}^k{{\left( {\sqrt {10} } \right)}^k} + ... + C_{100}^{99}{{\left( {\sqrt {10} } \right)}^{99}} + C_{100}^{100}{{\left( {\sqrt {10} } \right)}^{100}}} \right]\\
- \left[ {C_{100}^0 - C_{100}^1\sqrt {10} + ... + C_{100}^k{{\left( { - 1} \right)}^k}{{\left( {\sqrt {10} } \right)}^k} + ... - C_{100}^{99}{{\left( {\sqrt {10} } \right)}^{99}} + C_{100}^{100}{{\left( {\sqrt {10} } \right)}^{100}}} \right]\\
= 2.\left[ {C_{100}^1\sqrt {10} + C_{100}^3{{\left( {\sqrt {10} } \right)}^3} + ... + C_{100}^k{{\left( {\sqrt {10} } \right)}^k} + ... + C_{100}^{99}{{\left( {\sqrt {10} } \right)}^{99}}} \right]
\end{array}\)

Đặt \(k = 2n + 1\)

\(\begin{array}{l}
= 2\sqrt {10} .\left( {C_{100}^1 + C_{100}^3.10 + ... + C_{100}^{2n + 1}{{.10}^n} + ... + C_{100}^{99}{{.10}^{49}}} \right)\\
= 2\sqrt {10} .A\\
\Rightarrow \sqrt {10} .\left[ {{{\left( {1 + \sqrt {10} } \right)}^{100}} - {{\left( {1 - \sqrt {10} } \right)}^{100}}} \right] = \sqrt {10} .2\sqrt {10} .A = 20A
\end{array}\)

Vậy \(\sqrt{10}[{(1 + 10)}^{100} – {(1- \sqrt{10})}^{100}]\) là một số nguyên.