Bài 7 trang 120 SGK Hình học 11

Đề bài

Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có cạnh đáy bằng \(3a\), cạnh bên bằng \(2a\). Tính khoảng cách từ \(S\) tới mặt đáy \((ABC)\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Gọi H là tâm tam giác đều ABC \( \Rightarrow SH \, \bot  \, \left( {ABC} \right) \Rightarrow d\left( {S;\left( {ABC} \right)} \right) = SH\)

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông để tính \(SH\).

Lời giải chi tiết

Gọi \(H\) là tâm của tam giác đều \(ABC\) ta có \(SH \,  \bot  \, (ABC) \)

\(\Rightarrow d(S,(ABC))=SH\)

Gọi \(N\) là trung điểm của \(BC\).

\(\Rightarrow BN = NC = \dfrac{{3a}}{2}\)

Tam giác \(ABN\) vuông tại \(N\) nên:

\(AN = \sqrt {A{B^2} - B{N^2}}  \) \(= \sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{{3a}}{2}} \right)}^2}}  = \dfrac{{3a\sqrt 3 }}{2}\)

\(H\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) \(\Rightarrow AH=\dfrac 2 3 .AN = a\sqrt 3 \)

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông \(SAH\) ta có:

\(SH = \sqrt{SA^{2}-AH^{2}}=\sqrt{4a^{2}-(a\sqrt{3})^{2}}=a.\)

Vậy \(d\left( {S;\left( {ABC} \right)} \right) = SH = a\).