Giải phương trình \(f'(x) = 0\), biết rằng:
LG a
\(f(x) = 3\cos x + 4\sin x + 5x\)
Phương pháp giải:
Sử dụng bảng đạo hàm cơ bản và các quy tắc tính đạo hàm, tính đạo hàm của hàm số, sau đó giải phương trình lượng giác.
Phương pháp giải phương trình dạng \(a\sin x + b\cos x = c\): Chia cả 2 vế cho \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \).
Lời giải chi tiết:
\(f'(x) = - 3\sin x + 4\cos x + 5\). Do đó
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow - 3\sin x + 4\cos x + 5 = 0\)
\(\Leftrightarrow3 \sin x - 4\cos x = 5\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{3}{5}\sin x - \dfrac{4}{5}\ cos x = 1\). (1)
Đặt \(\cos φ = \dfrac{3}{5}\), \(\left(φ ∈ \left ( 0;\dfrac{\pi }{2} \right )\right ) \Rightarrow \sin φ = \dfrac{4}{5}\), ta có:
(1) \(\Leftrightarrow \sin x.\cos φ - \cos x.\sin φ = 1 \Leftrightarrow \sin(x - φ) = 1\)
\(\Leftrightarrow x - φ = \dfrac{\pi }{2} + k2π \Leftrightarrow x = φ + \dfrac{\pi }{2} + k2π, k ∈ \mathbb Z\)
LG b
\(f(x) = 1 - \sin(π + x) + 2\cos \left ( \dfrac{2\pi +x}{2} \right )\)
Phương pháp giải:
Sử dụng mối liên hệ của các góc phụ nhau, bù nhau, hơn kém nhau \(\pi\), hơn kém nhau \(\dfrac{\pi }{2}\) và giải phương trình lượng giác cơ bản
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}
f'\left( x \right) = \left( 1 \right)' - \left[ {\sin \left( {\pi + x} \right)} \right]' + 2\left[ {\cos \left( {\pi + \dfrac{x}{2}} \right)} \right]'\\
= - \left( {\pi + x} \right)'\cos \left( {\pi + x} \right) + 2\left( {\pi + \dfrac{x}{2}} \right)'.\left[ { - \sin \left( {\pi + \dfrac{x}{2}} \right)} \right]\\
= - \cos \left( {\pi + x} \right) + 2.\dfrac{1}{2}.\left[ { - \sin \left( {\pi + \dfrac{x}{2}} \right)} \right]
\end{array}\)
\(f'(x) = - \cos(π + x) - \sin \left (\pi + \dfrac{x}{2} \right ) = \cos x + \sin \dfrac{x }{2}\)
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \cos x + \sin \dfrac{x }{2} = 0 \Leftrightarrow \sin \dfrac{x }{2} = - cosx\)
\(\Leftrightarrow sin \dfrac{x }{2} = sin \left (x-\dfrac{\pi}{2}\right )\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\dfrac{x}{2} = x - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \\
\dfrac{x}{2} = \pi - x + \dfrac{\pi }{2} + k2\pi
\end{array} \right.
\end{array}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
- \frac{x}{2} = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \\
\frac{{3x}}{2} = \frac{{3\pi }}{2} + k2\pi
\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \pi - k4\pi \\
x = \pi + \frac{{k4\pi }}{3}
\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow x = \pi + \frac{{k4\pi }}{3}\)
Cách khác:
\(\begin{array}{l}
f\left( x \right) = 1 - \sin \left( {\pi + x} \right) + 2\cos \left( {\frac{{2\pi + x}}{2}} \right)\\
= 1 + \sin x + 2\cos \left( {\pi + \frac{x}{2}} \right)\\
= 1 + \sin x - 2\cos \frac{x}{2}\\
f'\left( x \right) = \left( {1 + \sin x - 2\cos \frac{x}{2}} \right)'\\
= \left( 1 \right)' + \left( {\sin x} \right)' - 2\left( {\cos \frac{x}{2}} \right)'\\
= 0 + \cos x - 2.\frac{1}{2}\left( { - \sin \frac{x}{2}} \right)\\
= \cos x + \sin \frac{x}{2}\\
f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \cos x + \sin \frac{x}{2} = 0\\
\Leftrightarrow \cos x = - \sin \frac{x}{2} = - \cos \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{x}{2}} \right)\\
\Leftrightarrow \cos x = \cos \left( {\pi - \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{x}{2}} \right)} \right)\\
\Leftrightarrow \cos x = \cos \left( {\frac{\pi }{2} + \frac{x}{2}} \right)\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{2} + \frac{x}{2} + k2\pi \\
x = - \frac{\pi }{2} - \frac{x}{2} + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\frac{x}{2} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\
\frac{{3x}}{2} = - \frac{\pi }{2} + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \pi + k4\pi \\
x = - \frac{\pi }{3} + \frac{{k4\pi }}{3}
\end{array} \right.
\end{array}\)
Chú ý:
Ở họ nghiệm thứ 2 nếu cho \(k=1+l,l\in Z\) thì:
\(x = - \frac{\pi }{3} + \frac{{k4\pi }}{3} = - \frac{\pi }{3} + \frac{{\left( {1 + l} \right)4\pi }}{3} \)
\(= - \frac{\pi }{3} + \frac{{4\pi + l4\pi }}{3} = - \frac{\pi }{3} + \frac{{4\pi }}{3} + \frac{{l4\pi }}{3} \)
\(= \pi + \frac{{l4\pi }}{3}\)
Do đó hai họ nghiệm \(x = \pi + k4\pi\) và \(x= \pi + \frac{{l4\pi }}{3}\) hợp lại vẫn được họ nghiệm \(x=\pi + \frac{{l4\pi }}{3}\) trùng với kết quả cách 1.
Unit 5: Cities and education in the future
Chủ đề 6. Lịch sử bảo vệ chủ quyền, các quyền và lợi ích hợp pháp của Việt Nam ở biển Đông
CHƯƠNG VII - MẮT. CÁC DỤNG CỤ QUANG
Unit 7: Education options for school-leavers
Unit 1: Health & Healthy lifestyle
SGK Toán Nâng cao Lớp 11
SBT Toán Lớp 11
SBT Toán Nâng cao Lớp 11
SGK Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SGK Toán 11 - Cánh Diều
SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh Diều
Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo
SBT Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SBT Toán 11 - Cánh Diều
SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Tổng hợp Lí thuyết Toán 11
Bài giảng ôn luyện kiến thức môn Toán lớp 11