PHẦN GIẢI TÍCH - TOÁN 12

Bài 3 trang 113 SGK Giải tích 12

Lựa chọn câu hỏi để xem giải nhanh hơn
LG a
LG b
LG c
LG d

Sử dụng phương pháp đổi biến số, tính tích phân:

Lựa chọn câu hỏi để xem giải nhanh hơn
LG a
LG b
LG c
LG d

LG a

\(\int_{0}^{3}\frac{x^{2}}{(1+x)^{\frac{3}{2}}}dx\) (Đặt \(u= x+1\)) 

Phương pháp giải:

Đặt \(u= x+1\) và sử dụng công thức nguyên hàm cỏ bản:

\(\int {{x^\alpha }dx}  = \frac{{{x^{\alpha  + 1}}}}{{\alpha  + 1}} + C\left( {\alpha  \ne  - 1} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(u= x+1 \Rightarrow  du =  dx\) và \(x = u - 1\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow u = 1\\x = 3 \Rightarrow u = 4\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}\int\limits_0^3 {\frac{{{x^2}}}{{{{\left( {1 + x} \right)}^{\frac{3}{2}}}}}dx} = \int\limits_1^4 {\frac{{{{\left( {u - 1} \right)}^2}}}{{{u^{\frac{3}{2}}}}}du} \\= \int\limits_1^4 {\frac{{{u^2} - 2u + 1}}{{{u^{\frac{3}{2}}}}}du} \\= \int\limits_1^4 {\left( {{u^{\frac{1}{2}}} - 2{u^{ - \frac{1}{2}}} + {u^{ - \frac{3}{2}}}} \right)du} \\ = \left. {\left( {\frac{{{u^{\frac{1}{2} + 1}}}}{{\frac{1}{2} + 1}} - 2.\frac{{{u^{ - \frac{1}{2} + 1}}}}{{ - \frac{1}{2} + 1}} + \frac{{{u^{ - \frac{3}{2} + 1}}}}{{ - \frac{3}{2} + 1}}} \right)} \right|_1^4\\= \left. {\left( {\frac{2}{3}{u^{\frac{3}{2}}} - 4{u^{\frac{1}{2}}} - 2{u^{ - \frac{1}{2}}}} \right)} \right|_1^4\\= - \frac{{11}}{3} - \left( { - \frac{{16}}{3}} \right) = \frac{5}{3}\end{array}\)

LG b

\(\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^{2}}dx\) (Đặt \(x = sint\) )

Phương pháp giải:

Đặt \(x = sint\)

Sử dụng công thức hạ bậc: \({\cos ^2}\alpha  = \frac{{1 + \cos 2\alpha }}{2}\)

Sử dụng công thức nguyên hàm: \(\int {\cos \left( {ax + b} \right)dx}  = \frac{{\sin \left( {ax + b} \right)}}{a} + C\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(x = sint\), \(0<t<\frac{\pi}{2}\). Ta có: \(dx = costdt\)

và \(\sqrt{1-x^{2}}=\sqrt{1-sin^{2}t}\)\(= \sqrt{cos^{2}t}=\left | cost \right |= cos t.\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = 1 \Rightarrow t = \frac{\pi }{2}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}\Rightarrow \int\limits_0^1 {\sqrt {1 - {x^2}} dx} \\= \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sqrt {1 - {{\sin }^2}t} \cos tdt} \\= \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^2}tdt} = \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {1 + \cos 2t} \right)dt} \\= \frac{1}{2}\left. {\left( {t + \frac{{\sin 2t}}{2}} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}\\= \frac{1}{2}.\frac{\pi }{2} = \frac{\pi }{4}\end{array}\)

LG c

\(\int_{0}^{1}\dfrac{e^{x}(1+x)}{1+x.e^{x}}dx\) (Đặt \(u = 1 + x.{e^x}\))

Phương pháp giải:

Đặt \(u = 1 + x.{e^x}\).

Lời giải chi tiết:

Đặt: \(u= 1 + x.{e^x}\)

\(\Rightarrow du = 0+  \left( {{e^x} + x.{e^x}} \right)dx \)\(= {e^x}\left( {1 + x} \right)dx\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow u = 1\\x = 1 \Rightarrow u = 1 + e\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}\Rightarrow \int\limits_0^1 {\frac{{{e^x}\left( {1 + x} \right)}}{{1 + x{e^x}}}dx} = \int\limits_1^{1 + e} {\frac{{du}}{u}} = \left. {\ln \left| u \right|} \right|_1^{1 + e}\\= \ln \left( {1 + e} \right) - \ln 1 = \ln \left( {1 + e} \right)\end{array}\)

LG d

\(\int_{0}^{\frac{a}{2}}\frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}dx\) (Đặt \(x= asint\))

Phương pháp giải:

Đặt \(x= asint\).

Lời giải chi tiết:

Đặt \(x = a\sin t \Rightarrow dx = a\cos tdt\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = \frac{a}{2} \Rightarrow t = \frac{\pi }{6}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}\Rightarrow \int\limits_0^{\frac{a}{2}} {\frac{1}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{a\cos tdt}}{{\sqrt {{a^2} - {a^2}{{\sin }^2}t} }}} \\= \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{a\cos tdt}}{{a.\cos t}}} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {dt} = \left. t \right|_0^{\frac{\pi }{6}} = \frac{\pi }{6}\end{array}\).

Fqa.vn
Bình chọn:
0/5 (0 đánh giá)
Báo cáo nội dung câu hỏi
Bình luận (0)
Bạn cần đăng nhập để bình luận
Bạn chắc chắn muốn xóa nội dung này ?
FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)
Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn
Location Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.
Tải ứng dụng FQA
Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024
Copyright © 2023 fqa.vn All Rights Reserved