Câu 10 trang 115 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng.

a) Đặt \(\widehat {xOy} = \alpha ,\widehat {yOz} = \beta ,\widehat {{\rm{zOx}}} = \gamma \) . Chứng minh rằng:

\(\cos \alpha  + \cos \beta  + \cos \gamma  >  - {3 \over 2}\)

b) Gọi \(O{x_1},O{y_1},O{z_1}\)  lần lượt là các tia phân giác của các góc xOy, yOz, zOx. Chứng minh rằng nếu Ox₁ và Oy₁ vuông góc với nhau thì Oz₁ vuông góc với cả Ox₁ và Oy₁.

Lời giải chi tiết

Lấy \({E_1},{E_2},{E_3}\)  lần lượt thuộc các tia Ox, Oy, Oz sao cho \(O{E_1} = O{E_2} = O{E_3}\).

Đặt \(\overrightarrow {O{E_1}}  = \overrightarrow {{e_1}} ,\overrightarrow {O{E_2}}  = \overrightarrow {{e_2}} ,\overrightarrow {O{E_3}}  = \overrightarrow {{e_3}} \).

a) Do ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng nên\({\left( {{{\overrightarrow e }_1} + {{\overrightarrow e }_2} + {{\overrightarrow e }_3}} \right)^2} > 0\),

tức là

\(\eqalign{  & \overrightarrow e _1^2 + \overrightarrow e _2^2 + \overrightarrow e _3^2 \cr&+ 2\left( {{{\overrightarrow e }_1}.{{\overrightarrow e }_2} + {{\overrightarrow e }_2}.{{\overrightarrow e }_3} + {{\overrightarrow e }_3}.\overrightarrow {{e_1}} } \right) > 0  \cr  &  \Leftrightarrow 3{\rm{O}}E_1^2 + 2OE_1^2\left( {\cos \alpha  + \cos \beta  + \cos \gamma } \right) > 0 \cr} \)

Vậy \(\cos \alpha  + cos\beta  + cos\gamma  >  - {3 \over 2}\)

Dễ thấy

\(\eqalign{  & \overrightarrow {O{E_1}}  + \overrightarrow {O{E_2}} //O{x_1}  \cr  & \overrightarrow {O{E_2}}  + \overrightarrow {O{E_3}} //O{y_1}  \cr  & \overrightarrow {O{E_3}}  + \overrightarrow {O{E_1}} //O{z_1}  \cr  & O{x_1} \bot O{y_1} \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {O{E_1}}  + \overrightarrow {O{E_2}} } \right)\left( {\overrightarrow {O{E_2}}  + \overrightarrow {O{E_3}} } \right) = 0 \cr} \)

hay  \({\overrightarrow {O{E_2}} ^2} + \overrightarrow {O{E_1}} .\overrightarrow {O{E_2}}  + \overrightarrow {O{E_1}} .\overrightarrow {O{E_3}}  + \overrightarrow {O{E_2}} .\overrightarrow {O{E_3}}  = 0\)

Ta có:

\(\eqalign{  & \left( {\overrightarrow {O{E_1}}  + \overrightarrow {O{E_2}} } \right)\left( {\overrightarrow {O{E_3}}  + \overrightarrow {O{E_1}} } \right)  \cr  &  = {\overrightarrow {O{E_1}} ^2} + \overrightarrow {O{E_1}} .\overrightarrow {O{E_2}}  + \overrightarrow {O{E_2}} .\overrightarrow {O{E_3}}  + \overrightarrow {O{E_1}} .\overrightarrow {O{E_3}} \cr} \)

  \(= 0\)

Vậy \(O{x_1} \bot O{z_1}\)

Tương tự, ta cũng có \(O{y_1} \bot O{z_1}\)