Cho dãy số (un) xác định bởi
\({u_1} = 3\,\text{ và }\,{u_n} = 4{u_{n - 1}} - 1\) với mọi n ≥ 2
Chứng minh rằng :
LG a
\({u_n} = {{{2^{2n + 1}} + 1} \over 3}\) (1) với mọi số nguyên n ≥ 1
Lời giải chi tiết:
Với n = 1 ta có \({u_1} = 3 = {{{2^3} + 1} \over 3}\)
(1) đúng với n = 1
Giả sử (1) đúng với n = k tức là ta có : \({u_k} = {{{2^{2k + 1}} + 1} \over 3}\)
Ta chứng minh (1) đúng khi n=k+1 hay \({u_{k + 1}} = \dfrac{{{2^{2\left( {k + 1} \right) + 1}} + 1}}{3}\)
Với n = k + 1 ta có :
\(\eqalign{ & {u_{k + 1}} = 4{u_k} - 1 = 4.{{{2^{2k + 1}} + 1} \over 3} - 1 \cr &= {{4\left( {{2^{2k + 1}} + 1} \right) - 3} \over 3} \cr & = {{{2^{2k + 3}} + 1} \over 3} = {{{2^{2\left( {k + 1} \right)+1}} + 1} \over 3} \cr} \)
Vậy (1) đúng với n = k + 1 do đó (1) đúng với ∀ n ≥ 1
LG b
(un) là môt dãy số tăng.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{ & {u_{n + 1}} - {u_n} = {{{2^{2n + 3}} + 1} \over 3} - {{{2^{2n + 1}} + 1} \over 3} = {{{2^{2n + 1}}\left( {{2^2} - 1} \right)} \over 3} \cr & = {2^{2n + 1}} > 0 \Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n} \cr} \)
⇒ (un) là dãy số tăng.
Câu hỏi tự luyện Sử 11
Review Unit 7
Tải 10 đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương VIII - Hóa học 11
Đề minh họa số 4
Chủ đề 6: Kĩ thuật thủ môn
SGK Toán Lớp 11
SBT Toán Lớp 11
SBT Toán Nâng cao Lớp 11
SGK Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SGK Toán 11 - Cánh Diều
SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh Diều
Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo
SBT Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SBT Toán 11 - Cánh Diều
SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Tổng hợp Lí thuyết Toán 11
Bài giảng ôn luyện kiến thức môn Toán lớp 11