Câu 13 trang 222 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hình bình hành ABCD. Qua đỉnh A, B, C, D dựng các đường thẳng a, b, c, d tương ứng song song với nhau và không thuộc mp(ABCD). Trên mỗi đường thẳng a, b, c, d lần lượt lấy các điểm \({A_1},{B_1},{C_1},{D_1}\). Chứng minh rằng:

a) Nếu các điểm \({A_1},{B_1},{C_1},{D_1}\) không đồng phẳng thì đường thẳng nối trung điểm A₁C₁ và trung điểm B₁D₁ luôn đi qua một điểm cố định.

b) Bốn điểm \({A_1},{B_1},{C_1},{D_1}\) đồng phẳng khi và chỉ khi trung điểm của A₁C₁ trùng với trung điểm B₁D₁.

c) Nếu bốn đường thẳng \(A{C_1},B{{\rm{D}}_1},C{A_1},D{B_1}\) đôi một cắt nhau thì \(ABC{\rm{D}}.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) là một hình hộp.

Lời giải chi tiết

a) Xét phép chiếu song song lên mp(ABCD) theo phương chiếu l // a. Khi đó A₁C₁ có hình chiếu là AC nên trung điểm I của A₁C₁ có hình chiếu là trung điểm O của AC.

Tương tự, trung điểm J của B₁D₁ có hình chiếu là trung điểm O của BD.

Do đó, ba điểm I, J, O phải nằm trên một đường thẳng ∆. Đường thẳng ∆ này đi qua điểm cố định O.

b) Nếu \({A_1},{B_1},{C_1},{D_1}\) đồng phẳng thì \({A_1}{B_1}//{C_1}{D_1}\) vì chúng là giao tuyến của \(mp\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)\) với hai mặt phẳng song song \(\left( {AB{B_1}{A_1}} \right),\left( {DC{C_1}{D_1}} \right)\).

Tương tự, ta có \({A_1}{D_1}//{B_1}{C_1}\). Vậy tứ giác \({A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) là một hình bình hành. Do đó trung điểm I của A₁C₁ trùng với trung điểm J của B₁D₁.

● Ngược lại, nếu I trùng với J thì các điểm \({A_1},{B_1},{C_1},{D_1}\) cùng nằm trên mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau A₁C₁ và B₁D₁.

c)

Giả sử AC₁ cắt BD₁ tại K. Khi đó, ta có \(mp\left( {A{C_1},B{{\rm{D}}_1}} \right) \equiv mp\left( {AB{C_1}{D_1}} \right)\).

Mặt phẳng này cắt hai mặt phẳng song song \(\left( {AB{B_1}{A_1}} \right),\left( {DC{C_1}{D_1}} \right)\) theo hai giao tuyến song song AB và C₁D₁, suy ra \({C_1}{D_1}//C{\rm{D}}\). Mặt khác \(D{D_1}//C{C_1}\).

Vậy tứ giác \(CD{D_1}{C_1}\) là hình bình hành.

Do đó: \(C{\rm{D}} = {C_1}{D_1} \Rightarrow {C_1}{D_1} = BA\).

Như vậy \(AB{C_1}{D_1}\) là hình bình hành và K là trung điểm của AC₁ và BD₁.

Tương tự, nếu BD₁ cắt CA₁ tại K’ thì \(BC{{\rm{D}}_1}{A_1}\) là hình bình hành và K’ là trung điểm của BD₁ và CA₁ nên K’ ≡ K.

Tương tự, ta cũng suy ra K là trung điểm của B₁D, các mặt \(AB{B_1}{A_1},BC{C_1}{B_1}\) đều là hình bình hành và từ đó \({A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) cũng là hình bình hành. Vậy \(ABC{\rm{D}}.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) là hình hộp.