Câu 17 trang 223 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a, BC = b. Xét hai tia At, Ct’ cùng chiều và cùng vuông góc với mp(ABC). Lấy điểm M thuộc At, N thuộc Ct’ (M ≠ A, N ≠ C). Đặt AM = m, CN = n.

a) Tính góc giữa các mặt phẳng (MBD) và (NBD) với mặt phẳng (ABCD).

b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (NBD). Tìm hệ thức giữa a, b, m, n để hai mặt phẳng đó vuông góc.

c) Khi a = b và mp(MBD) vuông góc với mp(NBD), hãy tính đường cao OI của tam giác MON (trong đó O là giao điểm của AC và BD), từ đó suy ra hai mặt phẳng (BMN) và (DMN) vuông góc với nhau.

Lời giải chi tiết

a) Kẻ \(AH \bot B{\rm{D}}\). Do \(MA \bot \left( {ABC{\rm{D}}} \right)\) nên \(MH \bot B{\rm{D}}\) (định lí ba dường vuông góc).

Ta có MAH là tam giác vuông tại A nên \(\widehat {MHA}\) là góc giữa mp(MBD) với mp(ABCD). Đặt \(\widehat {MHA} = \alpha \) thì

\(\eqalign{  & \tan \alpha  = {{MA} \over {AH}},MA = m  \cr  & AH = {{ab} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}  \cr  &  \Rightarrow \tan \alpha  = {{m\sqrt {{a^2} + {b^2}} } \over {ab}} \cr} \)

Vậy góc giữa mặt phẳng (MBD) và mặt phẳng (ABCD) là α mà

\(\tan \alpha  = {{m\sqrt {{a^2} + {b^2}} } \over {ab}}\)

Tương tự, ta có \(\widehat {NKC}\) là góc giữa mp(NBD) với mp(ABCD) và đặt \(\widehat {NKC} = \beta \) thì

\(\tan \beta  = {{n\sqrt {{a^2} + {b^2}} } \over {ab}}\)

Vậy góc giữa mặt phẳng (NBD) và mặt phẳng (ABCD) là β mà

\(\tan \beta  = {{n\sqrt {{a^2} + {b^2}} } \over {ab}}\)

b) Kẻ Hx song song với KN, do AH // KC và At, Ct’ nằm về một phía của (ABCD) nên \(\widehat {MH{\rm{x}}}\) hoặc \({180^0} - \widehat {MH{\rm{x}}}\) là góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (NBD).

Đặt \(\widehat {MH{\rm{x}}} = \gamma \) thì \(\gamma  = {180^0} - \left( {\alpha  + \beta } \right)\)

\(\eqalign{  & \tan \gamma  =  - tan\left( {\alpha  + \beta } \right) = {{\tan \alpha  + \tan \beta } \over {\tan \alpha \tan \beta  - 1}}  \cr  &  = {{\sqrt {{a^2} + {b^2}} \left( {m + n} \right)ab} \over {mn\left( {{a^2} + {b^2}} \right) - {a^2}{b^2}}} \cr} \)

Vậy góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (NBD) là φ mà

\(\tan \varphi  = {{\sqrt {{a^2} + {b^2}} \left( {m + n} \right)ab} \over {\left| {mn\left( {{a^2} + {b^2}} \right) - {a^2}{b^2}} \right|}}\)

Từ đó, suy ra mặt phẳng (MBD) và mặt phẳng (NBD) vuông góc khi và chỉ khi

\(mn\left( {{a^2} + {b^2}} \right) - {a^2}{b^2} = 0\) hay \(mn = {{{a^2}{b^2}} \over {{a^2} + {b^2}}}\).

c)

Khi a = b thì H ≡ K ≡ O và \(mp\left( {MB{\rm{D}}} \right) \bot mp\left( {NB{\rm{D}}} \right)\) tức là \(mn = {{{a^2}} \over 2}\).

Gọi OI là đường cao của tam giác vuông OMN.

Ta có

 \(\eqalign{  & OI = {{2{{\rm{S}}_{MON}}} \over {MN}}  \cr  & 2{{\rm{S}}_{MON}} = 2\left[ {{S_{ACNM}} - \left( {{S_{AM{\rm{O}}}} + {S_{CNO}}} \right)} \right]  \cr  &  = 2\left( {{1 \over 2}\left( {m + n} \right)a\sqrt 2  - {1 \over 2}.{{a\sqrt 2 } \over 2}m - {1 \over 2}.{{a\sqrt 2 } \over 2}n} \right)  \cr  &  = {{a\sqrt 2 } \over 2}\left( {m + n} \right)  \cr  & MN = \sqrt {{{\left( {m - n} \right)}^2} + 2{{\rm{a}}^2}}   \cr  &  = \sqrt {{{\left( {m - n} \right)}^2} + 4mn}   \cr  &  = m + n \cr} \)

Từ đó \(OI = {{a\sqrt 2 } \over 2}\)

Vậy BID là tam giác vuông tại I.

Mặt khác \(B{\rm{D}} \bot \left( {MACN} \right)\) nên \(B{\rm{D}} \bot MN\) ; kết hợp với \(OI \bot MN\) ta có \(MN \bot \left( {BI{\rm{D}}} \right)\).

Vì \(\widehat {BI{\rm{D}}} = {90^0}\) nên hai mặt phẳng (BMN) và (DMN) vuông góc với nhau.