b. Xét mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng SC. Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để (P) cắt SC tại điểm C₁ nằm giữa S và C. Khi đó hãy tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABC khi cắt bởi mp(P).

Lời giải chi tiết

a. Gọi I là trung điểm của BC.

Tam giác ABC đều, AI là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao: BC ⊥ AI.

Tam giác SBC có SB = SC, SI là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao: BC ⊥ SI.

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow BC \bot (SAI) \supset SG\\
\Rightarrow BC \bot SG.\,\,\, (1)
\end{array}\)

Chứng minh tương tự ta có: \(AB \bot SG\,\,\, (1)\)

Từ (1;2) suy ra \(SG \bot (ABC)\)

\(\begin{array}{l}
+) \, SI^2 ={S{C^2} - I{C^2}} ={{b^2} - \frac{{{a^2}}}{4}} \\
+) \, GI = \frac{1}{3}AI;\, AI ^2 = {A{B^2} - B{I^2}} =a.\frac{{3 }}{4} \Rightarrow GI= \frac{{a\sqrt 3 }}{6}.
\end{array}\)

\(\Rightarrow SG = \sqrt {S{I^2} - G{I^2}} = \sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{4} - {{{a^2}} \over {12}}} \) \( = \sqrt {{{12{b^2} - 4{a^2}} \over {12}}}\) \( = \sqrt {{{3{b^2} - {a^2}} \over 3}} \)

b. Kẻ AC₁ ⊥ SC thì (P) chính là mp(ABC₁)

Vì SAC là tam giác cân mà AC₁ ⊥ SC nên C₁ nằm giữa S và C khi và chỉ khi

\(\widehat {ASC} < 90^\circ \Leftrightarrow A{S^2} + C{S^2} > A{C^2} \) \(\Leftrightarrow 2{b^2} > {a^2}\)

Ta có : AB ⊥ GC và AB ⊥ SG ⇒ AB ⊥ SC

SC ⊥ AC₁ và SC ⊥ AB nên SC ⊥ (ABC₁)

Thể tích tứ diện SABC là :

\(\eqalign{ & {V_{SABC}} = {1 \over 3}SG.{S_{ABC}} = {1 \over 3}SC.{S_{AB{C_1}}} \cr & \Rightarrow {S_{AB{C_1}}} = {{SG.{S_{ABC}}} \over {SC}} \cr &= {{\sqrt {{{3{b^2} - {a^2}} \over 3}} .{{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}} \over b} = {{{a^2}\sqrt {3{b^2} - {a^2}} } \over {4b}} \cr} \)

Fqa.vn

Báo cáo nội dung câu hỏi

Khác

Bình luận (0)

Bạn cần đăng nhập để bình luận

Xác nhận

Bạn chắc chắn muốn xóa nội dung này ?

Chương bài liên quan

Bài 4. Hai mặt phẳng vuông góc

Bài 5. Khoảng cách

Bài tập ôn tập chương III

Các câu hỏi trắc nghiệm - Chương III

Gợi ý sách

Xem thêm

Bạn có câu hỏi cần được giải đáp?

Bộ sách liên quan

FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)

Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn

Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.

Liên kết · Hỏi đáp bài tập · Giải bài tập SGK · Cẩm nang · Đề ôn luyện

hỗ trợ · Điều khoản & chính sách · Sitemap · Liên hệ · Hướng dẫn sử dụng · Đánh giá và góp ý · Dịch vụ FQA media

Tải ứng dụng FQA

Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024