Câu 4.47 trang 184 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Đề bài

Cho A, B, C, D là bốn điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số

\(1 + 2i\),         \(1 + \sqrt 3  + i\),            \(1 + \sqrt 3  - i\),        \(1 - 2i\)

Chứng minh rằng ABCD là một tứ giác nội tiếp đường tròn. Hỏi tâm đường tròn đó biểu diễn số phức nào ?

Lời giải chi tiết

Vì mỗi cặp số \(1 + 2i\), \(1 - 2i\) và \(1 + \sqrt 3  + i\), \(1 + \sqrt 3  - i\) là cặp số phức liên hợp nên hai điểm A, D, hai điểm B, C đối xứng qua \(Ox\); phần thực của hai số đầu khác phần thực của hai số sau nên ABCD là một hình thang cân , do đó nó là một tứ giác nội tiếp đường tròn có tâm J nằm trên trục đối xứng \(Ox\); J biểu diễn số thực \(x\) sao cho \(\left| {\overrightarrow {JA} } \right| = \overrightarrow {\left| {JB} \right|}  \Leftrightarrow \left| {1 - x + 2i} \right| = \left| {1 - x + \sqrt 3  + i} \right|\). Từ đó suy ra  \(x\) = 1.

(Cách khác : \(\overrightarrow {AB} \) biểu diễn số phức \( \sqrt 3  - i\), \(\overrightarrow {DB} \) biểu diễn số phức \(\sqrt 3  + 3i\) mà \({{\sqrt 3  + 3i} \over {\sqrt 3  - i}} = \sqrt 3 i\) nên \(\overrightarrow {AB} \overrightarrow {.DB}  = 0\). Tương tự (hay vì lí do đối xứng qua \(Ox\)), \(\overrightarrow {DC} .\overrightarrow {AC}  = 0\). Từ đó suy ra AD là một đường kính của đường tròn đi qua A, B, C, D . ( h.4.13)