Câu 5 trang 221 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hai đường thẳng a, b cắt nhau và không vuông góc với nhau, điểm O không nằm trên chúng. Hãy xác định điểm A nằm trên a và điểm B nằm trên b sao cho tam giác OAB vuông cân tại đỉnh O.

Lời giải chi tiết

Giả sử đã xác định được hai điểm A, B theo yêu cầu của Câu toán.

Vì \(\widehat {AOB} = {90^0}\) nên góc lượng giác \(\left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right) =  \pm {\pi  \over 2}\).

Xét trường hợp \(\left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right) = {\pi  \over 2}\).

Gọi Q là phép quay tâm O với góc quay \({\pi  \over 2}\)  và a’ là ảnh của đường thẳng a qua phép Q. Vì Q biến điểm A thành điểm B nên B cũng nằm trên đường thẳng a’, nói cách khác B là giao điểm của a’ và b.

Vậy ta có cách xác định điểm B như sau: Xác định đường thẳng a’ là ảnh của đường thanwgr a qua phéo quay Q rồi lấy giao điểm B của a’ và n. (Chú ý rằng a’ vuông góc với a còn b không vuông góc với a bên a’ và b cắt nhau).

Để xác định điểm A ta vẽ đường thẳng c đi qua O và vuông góc OB thì c sẽ cắt a tại A. Vậy OAB là tam giác vuông cân cần tìm.

Đối với trường hợp \(\left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right) =  - {\pi  \over 2}\) ta cũng làm tương tự và được tam giác vuông cân OA’B’ với A’ nằm trên a và B’ nằm trên b.

Bài toán có hai nghiệm hình.