Tìm các giới hạn sau :
LG a
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \root 3 \of {{{2{x^4} + 3x + 1} \over {{x^2} - x + 2}}} \)
Phương pháp giải:
Thay x vào hàm số suy ra giới hạn.
Lời giải chi tiết:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \root 3 \of {{{2{x^4} + 3x + 1} \over {{x^2} - x + 2}}} \) \(= \root 3 \of {{{32 - 6 + 1} \over {4 + 2 + 2}}} = \root 3 \of {{{27} \over 8}} = {3 \over 2}\)
LG b
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\sqrt {{x^2} - x + 5} } \over {2x - 1}}\)
Phương pháp giải:
Đưa thừa số ra ngoài dấu căn và chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của x.
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\sqrt {{x^2} - x + 5} } \over {2x - 1}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2}\left( {1 - \frac{1}{x} + \frac{5}{{{x^2}}}} \right)} }}{{2x - 1}}\cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\left| x \right|\sqrt {1 - {1 \over x} + {5 \over {{x^2}}}} } \over {x\left( {2 - {1 \over x}} \right)}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - x\sqrt {1 - \frac{1}{x} + \frac{5}{{{x^2}}}} }}{{x\left( {2 - \frac{1}{x}} \right)}}\cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - \sqrt {1 - {1 \over x} + {5 \over {{x^2}}}} } \over {2 - {1 \over x}}} = - {1 \over 2} \cr} \)
LG c
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} {{{x^4} + 1} \over {{x^2} + 4x + 3}}\)
Lời giải chi tiết:
Với mọi x < -3, ta có: \({{{x^4} + 1} \over {{x^2} + 4x + 3}} = {{{x^4} + 1} \over {x + 1}}.{1 \over {x + 3}}\)
\(\eqalign{& \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} {{{x^4} + 1} \over {x + 1}} = {{82} \over { - 2}} = - 41 < 0\cr&\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} {1 \over {x + 3}} = - \infty \cr &\text { vì } \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} \left( {x + 3} \right) = 0,x + 3 < 0,\forall x < - 3 \cr & \text{Vậy }\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} {{{x^4} + 1} \over {{x^2} + 4x + 3}} = + \infty \cr} \)
LG d
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {3 \over {{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\sqrt {{{x + 4} \over {4 - x}}} \)
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{
& \text{ Vì }\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {3 \over {{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = + \infty \cr&\text{ và}\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \sqrt {{{x + 4} \over {4 - x}}} = \sqrt {{6 \over 2}} = \sqrt 3 > 0 \cr
& \text{ nên }\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {3 \over {{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\sqrt {{{x + 4} \over {4 - x}}} = + \infty \cr} \)
LG e
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} {{\sqrt {8 + 2x} - 2} \over {\sqrt {x + 2} }}\)
Phương pháp giải:
Nhân tử và mẫu của phân thức với \(\sqrt {8 + 2x} + 2\).
Lời giải chi tiết:
Nhân tử và mẫu của phân thức với \(\sqrt {8 + 2x} + 2,\) ta được :
\(\eqalign{
& {{\sqrt {8 + 2x} - 2} \over {\sqrt {x + 2} }}\cr & = \frac{{\left( {\sqrt {8 + 2x} - 2} \right)\left( {\sqrt {8 + 2x} + 2} \right)}}{{\sqrt {x + 2} \left( {\sqrt {8 + 2x} + 2} \right)}}\cr &= {{8 + 2x - 4} \over {\sqrt {x + 2} \left( {\sqrt {8 + 2x} + 2} \right)}} \cr
& = {{2\left( {x + 2} \right)} \over {\sqrt {x + 2} \left( {\sqrt {8 + 2x} + 2} \right)}} \cr &= {{2\sqrt {x + 2} } \over {\sqrt {8 + 2x} + 2}} \cr
& \forall x > - 2 \cr} \)
Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} {{\sqrt {8 + 2x} - 2} \over {\sqrt {x + 2} }} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} {{2\sqrt {x + 2} } \over {\sqrt {8 + 2x }+ 2 }} = {0 \over 4} = 0\)
LG f
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x} - \sqrt {4 + {x^2}} } \right)\)
Phương pháp giải:
Nhân chia liên hợp.
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x} - \sqrt {4 + {x^2}} } \right) \cr& = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\left( {\sqrt {{x^2} + x} - \sqrt {4 + {x^2}} } \right)\left( {\sqrt {{x^2} + x} + \sqrt {4 + {x^2}} } \right)}}{{\sqrt {{x^2} + x} + \sqrt {4 + {x^2}} }}\cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{{x^2} + x - 4 - {x^2}} \over {\sqrt {{x^2} + x} + \sqrt {4 + {x^2}} }} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{x - 4} \over {\left| x \right|\sqrt {1 + {1 \over x}} + \left| x \right|\sqrt {{4 \over {{x^2}}} + 1} }} \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{x\left( {1 - {4 \over x}} \right)} \over { - x\left( {\sqrt {1 + {1 \over x}} + \sqrt {{4 \over {{x^2}}} + 1} } \right)}} \cr
& = - \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{1 - {4 \over x}} \over {\sqrt {1 + {1 \over x}} + \sqrt {1 + {4 \over {{x^2}}}} }} \cr &= - {1 \over 2} \cr} \)
Chuyên đề 3: Dầu mỏ và chế biến dầu mỏ
A - KHÁI QUÁT NỀN KINH TẾ - XÃ HỘI THẾ GIỚI
Chương 5. Mối quan hệ giữa các quá trình sinh lí trong cơ thể sinh vật và một số ngành nghề liên quan đến sinh học cơ thể
Bài 10. Kĩ thuật sử dụng lựu đạn
Chương VI. Động cơ đốt trong
SGK Toán Lớp 11
SBT Toán Lớp 11
SBT Toán Nâng cao Lớp 11
SGK Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SGK Toán 11 - Cánh Diều
SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh Diều
Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo
SBT Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SBT Toán 11 - Cánh Diều
SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Tổng hợp Lí thuyết Toán 11
Bài giảng ôn luyện kiến thức môn Toán lớp 11