Đề bài
Cho số thực \(x > -1\). Chứng minh rằng :
\({\left( {1 + x} \right)^n} \ge 1 + nx\) (1)
Với mọi số nguyên dương n.
Lời giải chi tiết
+) Với \(n = 1\), ta có \({\left( {1 + x} \right)^1} = 1 + x = 1 + 1.x\)
Như vậy, ta có (1) đúng khi \(n = 1\)
+) Giả sử đã có (1) đúng khi \(n = k, k \in \mathbb N^*\), tức là:
\({\left( {1 + x} \right)^k} \ge 1 + kx\)
+) Ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi \(n = k + 1\).
Thật vậy, từ giả thiết \(x > -1\) nên \((1+x)>0\)
Theo giả thiết qui nạp, ta có : \({\left( {1 + x} \right)^k} \ge 1 + kx\) (2)
Nhân hai vế của (2) với \((1+x)\) ta được:
\(\eqalign{
& {\left( {1 + x} \right)^{k + 1}} \ge \left( {1 + x} \right)\left( {1 + kx} \right) \cr
& = 1 + x + kx + k{x^2}\cr&= 1 + \left( {k + 1} \right)x + k{x^2} \cr&\ge 1 + \left( {k + 1} \right)x \cr} \)
Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi \(n \in \mathbb N^*\).
SGK Toán 11 - Cánh Diều tập 2
Chuyên đề 1. Một số vấn đề về khu vực Đông Nam Á
Bài 6. Tiết 1: Tự nhiên và dân cư Hoa Kì - Tập bản đồ Địa lí 11
Phần hai. CÔNG DÂN VỚI CÁC VẤN ĐỀ CHÍNH TRỊ XÃ HỘI
Chuyên đề III. Một số yếu tố vẽ kĩ thuật
SBT Toán Nâng cao Lớp 11
SGK Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SGK Toán 11 - Cánh Diều
SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh Diều
Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo
SBT Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SBT Toán 11 - Cánh Diều
SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Tổng hợp Lí thuyết Toán 11
Bài giảng ôn luyện kiến thức môn Toán lớp 11
SBT Toán Lớp 11
SGK Toán Lớp 11
Chatbot GPT