Câu hỏi 10 - Mục Bài tập trang 43

1. Nội dung câu hỏi

Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình $\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)-\sin 2x=0$ là bao nhiêu?

2. Phương pháp giải

Phương trình $\sin x=m$,
* Nếu $\left|m\right|>1$ thì phương trình vô nghiệm.
* Nếu $|m| \leq 1$ thì phương trình có nghiệm:
Khi đó, tồn tại duy nhất $\alpha \in\left[-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right]$ thỏa măn $\sin \alpha=m$
$
\sin x=m \Leftrightarrow \sin x=\sin \alpha \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}
x=\alpha+k 2 \pi \\
x=\pi-\alpha+k 2 \pi
\end{array}(k \in \mathbb{Z})\right.
$

3. Lời giải chi tiết

Xét phương trình $\sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)-\sin 2 x=0$
$
\Leftrightarrow \sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\sin 2 x \Leftrightarrow\left[\begin{array} { l } 
{ x + \frac { \pi } { 6 } = 2 x + k 2 \pi } \\
{ x + \frac { \pi } { 6 } = \pi - 2 x + k 2 \pi }
\end{array} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}
x=\frac{\pi}{6}+k 2 \pi \\
x=\frac{5 \pi}{18}+k \frac{2 \pi}{3}
\end{array}(k \in \mathbb{Z})\right.\right.
$
Với $x=\frac{\pi}{6}+k 2 \pi$ có nghiệm dương bé nhất là $x=\frac{\pi}{6}$ khi $k=0$.
Với $x=\frac{5 \pi}{18}+k \frac{2 \pi}{3}$ có nghiệm dương bé nhắt là $x=\frac{5 \pi}{18}$ khi $k=0$.
Vậy nghiệm dương bé nhất của phương trình đã cho là $x=\frac{\pi}{6}$