Câu hỏi 4.42 - Mục Bài tập trang 103

1. Nội dung câu hỏi

Xác định giao điểm của mặt phẳng (MNP) với đường thẳng B'C.

2. Phương pháp giải

Trường hợp 1: $(\alpha)$ chứa đường thẳng $\Delta$ và cắt đường thẳng $\mathrm{d}$ tại I
Khi đó: $I=d \cap \Delta \Rightarrow I=d \cap(\alpha)$
Trường hợp 2: $(\alpha)$ không chứa đường thẳng nào $\mathrm{d}$
$
\begin{aligned}
& \text { - } \quad \operatorname{Tìm}(\beta) \supset d \text { và }(\alpha) \cap(\beta)=\Delta \\
& \text { - } \quad \operatorname{Tìm~} I=d \cap \Delta \\
& \text { Suy ra, } I=d \cap(\alpha) .
\end{aligned}
$

3. Lời giải chi tiết

Trong mặt phẳng (ABB'A'), gọi D là giao điểm của PM và BB'.

Vì D thuộc BB' nên D thuộc mặt phẳng (BCC'B'), N thuộc BC nên N thuộc mặt phẳng (BCC'B'), do đó trong mặt phẳng (BCC'B') nối D với N, đường thẳng DN cắt B'C tại K.

Vì D thuộc PM nên D thuộc mặt phẳng (MNP), do đó DN nằm trong mặt phẳng (MNP).

Mà K thuộc DN nên K thuộc mặt phẳng (MNP).

Do vậy, K là giao điểm của mặt phẳng (MNP) với đường thẳng B'C.

1. Nội dung câu hỏi

Gọi $\mathrm{K}$ là giao điểm của mặt phẳng (MNP) với đường thẳng $\mathrm{B}$ 'C. Tính tỉ số $\frac{K B^{\prime}}{K C}$.

2. Phương pháp giải

Trường hợp 1: $(\alpha)$ chứa đường thẳng $\Delta$ và cắt đường thẳng $\mathrm{d}$ tại I
Khi đó: $I=d \cap \Delta \Rightarrow I=d \cap(\alpha)$
Trường hợp 2: $(\alpha)$ không chứa đường thẳng nào $\mathrm{d}$
$
\begin{aligned}
& \text { - } \quad \operatorname{Tìm}(\beta) \supset d \text { và }(\alpha) \cap(\beta)=\Delta \\
& \text { - } \quad \operatorname{Tìm~} I=d \cap \Delta \\
& \text { Suy ra, } I=d \cap(\alpha) .
\end{aligned}
$

- Sử dụng định lí Thales để tính tỉ số.
3. Lời giải chi tiết

Xét tam giác $A^{\prime} A B$ có $P, M$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $A A^{\prime}, A B$ nên $P M$ là đường trung bình của tam giác $A^{\prime} A B$, suy ra $P M / /$ $A^{\prime} B$ hay $P D / / A^{\prime} B$.
Lại có $A$ 'P // $B D$ (vì $A A^{\prime} / / B B^{\prime}$ do nó là các cạnh bên của hình lăng trụ tam giác $A B C$. $A B^{\prime} C$ ).
Do đó, tứ giác $A P D B$ là hình bình hành. Suy ra $A P=B D$.
Mà $P$ là trung điểm của $A A^{\prime}$ nên $A ' P=\frac{1}{2} A A^{\prime}$; suy ra $B D=\frac{1}{2} A A^{\prime}$ :
Lại có $A A^{\prime}=B B^{\prime}$ (do $A B C \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ là hình lăng trụ tam giác).
Từ đó suy ra $\mathrm{BD}=\frac{1}{2} \mathrm{BB}^{\prime}(1) \Rightarrow \frac{B D}{B^{\prime} D}=\frac{1}{3}(2)$.

Gọi $E$ là trung điểm của $\mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}$. Vì $\mathrm{N}$ là trung điểm của $\mathrm{BC}$, do đó $\mathrm{EN}$ là đường trung bình của tam giác $\mathrm{BB}$ 'C, suy ra $\mathrm{EN} / / \mathrm{BB}$ 'và $\mathrm{EN}=\frac{1}{2}$ $\mathrm{BB}^{\prime}(3)$.
Từ (1) và (3) suy ra EN = BD (4).
Từ (2) và (4) suy ra $\frac{E N}{B^{\prime} D}=\frac{1}{3}$.
Xét tam giác KDB'có $\mathrm{EN} / / \mathrm{B} \mathrm{D}$ (vì EN // BB), theo định lí Thalés ta có:
$\frac{K E}{K B^{\prime}}=\frac{E N}{B^{\prime} D}=\frac{1}{3}$.
Suy ra $K E=\frac{1}{3} K^{\prime} \Rightarrow K E=\frac{1}{2} E B^{\prime}$.
Mà $\mathrm{EB}^{\prime}=\mathrm{EC}$ (do $\mathrm{E}$ là trung điểm của $\left.\mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}\right)$.
Do đó, $\mathrm{KE}=\frac{1}{2} E C$. Suy ra K là trung điểm của $\mathrm{EC}$. Khi đó $\mathrm{KC}=\frac{1}{2} E C$.
Mà $\mathrm{EC}=\frac{1}{2} \mathrm{~B}^{\prime} \mathrm{C}$. Suy ra $\mathrm{KC}=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} B^{\prime} C=\frac{1}{4} B^{\prime} C$. Từ đó suy ra $\mathrm{KC}=\frac{1}{3} \mathrm{~KB}$ '.
Vậy $\frac{K B^{\prime}}{K C}=3$.