Câu hỏi 5.17 - Mục Bài tập trang 122

1. Nội dung câu hỏi

Viết công thức hàm số mô tả số tiền khách phải trả theo quãng đường di chuyển.

2. Phương pháp giải

Dựa vào đề bài để viết công thức hàm số.

3. Lời giải chi tiết

Gọi x ( $\mathrm{km}, x>0$ ) là quãng đường khách di chuyển và y (đồng) là số tiền khách phải trả theo quãng đường di chuyển $x$.
Với $x \leq 0,5$, ta có $y=10000$.
Với $0,5<x \leq 30$, ta có: $y=10000+13500(x-0,5)$ hay $y=13500 x+3250$.
Với $x>30$, ta có: $y=10000 + 13500 . 29,5 + 11 000(x - 30)$  hay y = $11000 x+78250$.
Vậy công thức hàm số mô tả số tiền khách phải trả theo quãng đường di chuyển là
$
\mathrm{y}= \begin{cases}10000, & 0<\mathrm{x} \leq 0,5 \\ 13500 \mathrm{x}+3250, & 0,5<\mathrm{x} \leq 30 \\ 11000 \mathrm{x}+78250, & \mathrm{x}>30\end{cases}
$

1. Nội dung câu hỏi

Xét tính liên tục của hàm số ở câu a.

2. Phương pháp giải

Hàm số $f(x)$ liên tục trên khoảng $(a, b)$ nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng này. 

Hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[a, b]$ nếu nó liên tục trên khoảng $(a, b)$ và $\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=f(a), \lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)=f(b)$

3. Lời giải chi tiết

+) Với $0<x<0,5$ thì y = 10000 là hàm hằng nên nó liên tục trên $(0 ; 0,5)$.
+) Với $0,5<x<30$ thì y = 13500x + 3250 là hàm đa thức nên nó liên tục trên $(0,5 ; 30)$.
+) Với x > 30 thì y = $11000 x+78250$ là hàm đa thức nên nó liên tục trên $(30 ;+\infty)$.
+) Ta xét tính liên tục của hàm số tại $x=0,5$ và $x=30$.
- Tại $x=0,5$, ta có $y(0,5)=10$ 000;
$
\begin{aligned}
& \lim _{x \rightarrow 0,5^{-}} y=\lim _{x \rightarrow 0,5^{-}} 10000=10000 \\
& \lim _{x \rightarrow 0,5^{+}} y=\lim _{x \rightarrow 0,5^{+}}(13500 x+3250)=13500 \cdot 0,5+3250=10000 .
\end{aligned}
$
Do đó, $\lim _{x \rightarrow 0,5^{-}} y=\lim _{x \rightarrow 0,5^{+}} y=\lim _{x \rightarrow 0,5} y=y(0,5)$ nên hàm số liên tục tại $x=0,5$.
- Tại $x=30$, ta có: $y(30)=13500.30$ + $3250=408$ 250;
$
\begin{aligned}
& \lim _{x \rightarrow 30^{-}} y=\lim _{x \rightarrow 30^{-}}(13500 x+3250)=13500.30+3250=408250 \\
& \lim _{x \rightarrow 30^{+}} y=\lim _{x \rightarrow 30^{+}}(11000 x+78250)=11000.30+78250=408250 .
\end{aligned}
$
Do đó, $\lim _{x \rightarrow 30^{-}} y=\lim _{x \rightarrow 30^{+}} y=\lim _{x \rightarrow 30} y=y(30)$ nên hàm số liên tục tại $\mathrm{x}=30$.
Vậy hàm số ở câu a liên tục trên $(0 ;+\infty)$.