Câu hỏi 7 - Mục Bài tập trang 86

1. Nội dung câu hỏi

Cho tam giác đều có cạnh bằng $a$, gọi là tam giác $H_1$. Nối các trung điểm của $H_1$ để tạo thành tam giác $H_2$. Tiếp theo, nối các trung điểm của $H_1$, để tạo thành tam giác $H_3$ (Hình 1). Cứ tiếp tục như vậy, nhận được dãy tam giác $H_1, H_2, H_3, \ldots$
Tính tổng chu vi và tổng diện tích các tam giác của dãy.

2. Phương pháp giải

Bước 1: Tìm cạnh của tam giác đều thứ $n$ dựa vào cạnh của tam giác đều thứ $n-1$.
Bước 2: Tính chu vi và diện tích của tam giác đều thứ $n$.
Bước 3: Áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu $u_1$ và công bội $q$ :
$
S=u_1+u_2+\ldots+u_n+\ldots=\frac{u_1}{1-q}
$

3. Lời giải chi tiết

Gọi $u_n$ là độ dài cạnh của tam giác đều thứ $n$.
Ta có: $u_1=a ; u_2=\frac{u_1}{2} ; u_3=\frac{u_2}{2} ; \ldots$
Từ đó ta thấy $\left(u_n\right)$ là một cấp số nhân có số hạng đầu $u_1=a$, công bội $q=\frac{1}{2}$.
Vậy $u_n=u_1 \cdot q^{n-1}=a \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=\frac{a}{2^{n-1}}, n=1,2,3, \ldots$
Chu vi của tam giác đều thứ $n$ là: $p_n=3 u_n=\frac{3 \mathrm{a}}{2^{n-1}}, n=1,2,3, \ldots$
Tổng chu vi của các tam giác của dãy là:

$
P_n=3 \mathrm{a}+\frac{3 \mathrm{a}}{2}+\frac{3 \mathrm{a}}{2^2}+\ldots+\frac{3 \mathrm{a}}{2^{n-1}}+\ldots=3 \mathrm{a}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\ldots+\frac{1}{2^{n-1}}+\ldots\right)
$
Tổng $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\ldots+\frac{1}{2^{n-1}}+\ldots$ là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu $u_1=1$, công bội $q=\frac{1}{2}$. Vậy $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\ldots+\frac{1}{2^{n-1}}+\ldots=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2 \Rightarrow P_n=3 \mathrm{a} .2=6 \mathrm{a}$.
Diện tích của hình vuông thứ $n$ là:
$
s_n=\frac{u_n^2 \sqrt{3}}{4}=\left(\frac{a}{2^{n-1}}\right)^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot\left(\frac{1}{2^{n-1}}\right)^2=\frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{1}{4^{n-1}}, n=1,2,3, \ldots
$
Tổng diện tích của các tam giác của dãy là:
$
S_n=\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}+\frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{1}{4}+\frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{1}{4^2}+\ldots+\frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{1}{4^{n-1}}+\ldots=\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}\left(1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+\ldots+\frac{1}{4^{n-1}}+\ldots\right)
$

Tổng $1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+\ldots+\frac{1}{4^{n-1}}+\ldots$ là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu $u_1=1$, công bội $q=\frac{1}{4}$.
Vậy $1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+\ldots+\frac{1}{4^{n-1}}+\ldots=\frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4}{3} \Rightarrow S_n=\frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{4}{3}=\frac{a^2 \sqrt{3}}{3}$