4. Dạng 4. Tính bằng cách hợp lí

Sử dụng các tính chất của phép cộng, phép nhân phân số:

+) Phép cộng:

+ Tính chất giao hoán: \(\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{c}{d} + \dfrac{a}{b}\)

+ Tính chất kết hợp:

\(\left( {\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d}} \right) + \dfrac{p}{q} = \dfrac{a}{b} + \left( {\dfrac{c}{d} + \dfrac{p}{q}} \right)\)

+ Cộng với số \(0\) : \(\dfrac{a}{b} + 0 = 0 + \dfrac{a}{b} = \dfrac{a}{b}\)

+) Phép nhân:

+ Tính chất giao hoán: \(\dfrac{a}{b}.\dfrac{c}{d} = \dfrac{c}{d}.\dfrac{a}{b}\)

+ Tính chất kết hợp: \(\left( {\dfrac{a}{b}.\dfrac{c}{d}} \right).\dfrac{p}{q} = \dfrac{a}{b}.\left( {\dfrac{c}{d}.\dfrac{p}{q}} \right)\)

+ Nhân với số \(1\): \(\dfrac{a}{b}.1 = 1.\dfrac{a}{b} = \dfrac{a}{b}\), nhân với số \(0\): \(\dfrac{a}{b}.0 = 0\)

+ Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng:

\(\dfrac{a}{b}.\left( {\dfrac{c}{d} + \dfrac{p}{q}} \right) = \dfrac{a}{b}.\dfrac{c}{d} + \dfrac{a}{b}.\dfrac{p}{q}\)

Chú ý: Thứ tự thực hiện phép tính như đối với số nguyên

Bài 1:

Tính nhanh:

a) \(\dfrac{{ - 2}}{7}.\dfrac{{125}}{9}:\dfrac{3}{{14}}:{( - 5)^2}\)

b) \(\dfrac{{35}}{{17}} + \dfrac{2}{{13}} - \left( {\dfrac{{ - 11}}{{13}} + 1\dfrac{1}{{17}}} \right)\)

c) \(\dfrac{{13}}{{23}}.\dfrac{{37}}{{32}} - \dfrac{{37}}{{32}}.\dfrac{{11}}{{23}} + \dfrac{2}{{23}}\)

Bài 2:

Tính bằng cách hợp lí:

a) \(A = \left( {\dfrac{{ - 2}}{{13}} + \dfrac{3}{5}} \right):\left( {\dfrac{{ - 4}}{{13}} + 1\dfrac{1}{5}} \right)\)

b) \(B = \dfrac{{\dfrac{2}{{11}} + \dfrac{2}{{13}} - \dfrac{2}{{15}} - \dfrac{2}{{17}}}}{{\dfrac{7}{{11}} + \dfrac{7}{{13}} - \dfrac{7}{{15}} - \dfrac{7}{{17}}}}\)

Hướng dẫn giải chi tiết

Bài 1:

Tính nhanh:

a) \(\dfrac{{ - 2}}{7}.\dfrac{{125}}{9}:\dfrac{3}{{14}}:{( - 5)^2}\)

b) \(\dfrac{{35}}{{17}} + \dfrac{2}{{13}} - \left( {\dfrac{{ - 11}}{{13}} + 1\dfrac{1}{{17}}} \right)\)

c) \(\dfrac{{13}}{{23}}.\dfrac{{37}}{{32}} - \dfrac{{37}}{{32}}.\dfrac{{11}}{{23}} + \dfrac{2}{{23}}\)

Phương pháp

Áp dụng tính chất giao hoán và phân phối của phép nhân đối với phép cộng

Lời giải

a)

\(\begin{array}{l}\dfrac{{ - 2}}{7}.\dfrac{{125}}{9}:\dfrac{3}{{14}}:{( - 5)^2}\\ = \dfrac{{ - 2}}{7}.\dfrac{{125}}{9}.\dfrac{{14}}{3}:25\\ = \dfrac{{ - 2}}{7}.\dfrac{{125}}{9}.\dfrac{{14}}{3}.\dfrac{1}{{25}}\\ = \left( {\dfrac{{ - 2}}{7}.\dfrac{{14}}{3}} \right).\left( {\dfrac{{125}}{9}.\dfrac{1}{{25}}} \right)\\ = \dfrac{{ - 4}}{3}.\dfrac{5}{9}\\ = \dfrac{{ - 20}}{{27}}\end{array}\)

b)

\(\begin{array}{l}\dfrac{{35}}{{17}} + \dfrac{2}{{13}} - \left( {\dfrac{{ - 11}}{{13}} + 1\dfrac{1}{{17}}} \right)\\ = \dfrac{{35}}{{17}} + \dfrac{2}{{13}} + \dfrac{{11}}{{13}} - 1\dfrac{1}{{17}}\\ = \left( {\dfrac{{35}}{{17}} - 1\dfrac{1}{{17}}} \right) + \left( {\dfrac{2}{{13}} + \dfrac{{11}}{{13}}} \right)\\ = \left( {\dfrac{{35}}{{17}} - \dfrac{{18}}{{17}}} \right) + \dfrac{{13}}{{13}}\\ = \dfrac{{17}}{{17}} + \dfrac{{13}}{{13}}\\ = 1 + 1\\ = 2\end{array}\)

c)

\(\begin{array}{l}\dfrac{{13}}{{23}}.\dfrac{{37}}{{32}} - \dfrac{{37}}{{32}}.\dfrac{{11}}{{23}} + \dfrac{2}{{23}}\\ = \dfrac{{37}}{{32}}.\left( {\dfrac{{13}}{{23}} - \dfrac{{11}}{{23}}} \right) + \dfrac{2}{{23}}\\ = \dfrac{{37}}{{32}}.\dfrac{2}{{23}} + \dfrac{2}{{23}}\\ = \dfrac{2}{{23}}.\left( {\dfrac{{37}}{{32}} + 1} \right)\\ = \dfrac{2}{{23}}.\dfrac{{69}}{{32}}\\ = \dfrac{3}{{16}}\end{array}\)

Bài 2:

Tính bằng cách hợp lí:

a) \(A = \left( {\dfrac{{ - 2}}{{13}} + \dfrac{3}{5}} \right):\left( {\dfrac{{ - 4}}{{13}} + 1\dfrac{1}{5}} \right)\)

b) \(B = \dfrac{{\dfrac{2}{{11}} + \dfrac{2}{{13}} - \dfrac{2}{{15}} - \dfrac{2}{{17}}}}{{\dfrac{7}{{11}} + \dfrac{7}{{13}} - \dfrac{7}{{15}} - \dfrac{7}{{17}}}}\)

Phương pháp

Tìm mối liên hệ giữa các phép tính trong biểu thức

Lời giải

a)

\(\begin{array}{l}A = \left( {\dfrac{{ - 2}}{{13}} + \dfrac{3}{5}} \right):\left( {\dfrac{{ - 4}}{{13}} + 1\dfrac{1}{5}} \right)\\ = \left( {\dfrac{{ - 2}}{{13}} + \dfrac{3}{5}} \right):\left[ {2.\left( {\dfrac{{ - 2}}{{13}} + \dfrac{3}{5}} \right)} \right]\\ = \dfrac{1}{2}\end{array}\)

b)

\(\begin{array}{l}B = \dfrac{{\dfrac{2}{{11}} + \dfrac{2}{{13}} - \dfrac{2}{{15}} - \dfrac{2}{{17}}}}{{\dfrac{7}{{11}} + \dfrac{7}{{13}} - \dfrac{7}{{15}} - \dfrac{7}{{17}}}}\\ = \dfrac{{2.\left( {\dfrac{1}{{11}} + \dfrac{1}{{13}} - \dfrac{1}{{15}} - \dfrac{1}{{17}}} \right)}}{{7.\left( {\dfrac{1}{{11}} + \dfrac{1}{{13}} - \dfrac{1}{{15}} - \dfrac{1}{{17}}} \right)}}\\ = \dfrac{2}{7}\end{array}\)